係数比較

ベクトル無理数, 背理法, 複素数, ベクトル


高校数学の色々な分野で出てくる係数比較についてまとめます。

ベクトルでの係数比較

ベクトル
\(a\vec{x}+b\vec{y}=0 \,\Leftrightarrow\, a=0,\,b=0\)
ただし \(\vec{x}\) と \(\vec{y}\) は独立, \(\vec{x}\neq \vec{0}\,\vec{y}\neq\vec{0}\)

証明

\(b\neq 0\) とすると
\(\vec{y}=-\dfrac{a}{b}\vec{x}\) となり
\(\vec{x}\) と \(\vec{y}\) が独立であることに反する。
よって \(b=0\) である。
このとき \(a\vec{x}=0\) となり, \(a=0\)

補足

\(a\vec{x}+b\vec{y}=a^{\prime}\vec{x}+b^{\prime}\vec{y}\,\Leftrightarrow a=a^{\prime},\,b=b^{\prime}\) が成り立つことは
\((a-a^{\prime})\vec{x}+(b-b^{\prime})\vec{y}=0\) と変形すれば分かります。


有理数・無理数での係数比較

有理数・無理数
\(a+b\sqrt{c}=0 \, \Leftrightarrow \, a=0,\,b=0\)
ただし \(\sqrt{c}\) は無理数 \(a,b\) は有理数とする。

証明

\(b\neq 0\) とすると
\(\sqrt{c}=-\dfrac{a}{b}\)
(無理数)=(有理数)となり矛盾
よって \(b=0\) である。
このとき \(a=0\) となる。

補足

\(a+b\sqrt{c}=a^{\prime}+b^{\prime}\sqrt{c}\,\Leftrightarrow\, a=a^{\prime},\,b=b^{\prime}\) が成り立つことは
\((a-a^{\prime})+(b-b^{\prime})\sqrt{c}=0\) と変形すれば分かります。


複素数での係数比較

複素数
\(a+bi=0\, \Leftrightarrow \, a=0,\,b=0\)
ただし \(i\) は虚数単位, \(a,b\) は実数とする。

証明

\(b\neq 0\) とすると
\(i=-\dfrac{a}{b}\)
(虚数)=(実数)となり矛盾
よって \(b=0\) である。
このとき \(a=0\) となる。

補足

\(a+bi=a^{\prime}+b^{\prime}i\,\Leftrightarrow\, a=a^{\prime},\,b=b^{\prime}\) が成り立つことは
\((a-a^{\prime})+(b-b^{\prime})i=0\) と変形すれば分かります。