分数式の整数解

整数


例題

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1 \quad (1\leqq x\leqq y \leqq z) \)
を満たす自然数 \(x,y,z\) をすべて求めよ。

方針

整数の定番問題です。以下の定石を使います。

文字を統一して,その文字について範囲を絞り込む

(整数)×(整数)=(整数)の形にする

解答

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\quad\cdots\cdots (*1)\)

\(x \leqq y \leqq z\)のとき
\(\dfrac{1}{z} \leqq \dfrac{1}{y} \leqq \dfrac{1}{x} \)
であるから
\(1=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \leqq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x}\)
\(\Leftrightarrow x \leqq 3\)
また, \(1 \leqq x\) であるため
\(1 \leqq x \leqq 3\)

\([1]\, x=1\)のとき \((*1)\) は
\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
となるが,これを満たす自然数 \(y,z\) は存在しない。

\([2]\, x=2\)のとき \((*1)\) は
\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}\quad \cdots\cdots\) \((*2)\)となる
\(y \leqq z\)のとき
\(\dfrac{1}{z} \leqq \dfrac{1}{y}\)
であるから
\( \dfrac{1}{y}\leqq \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \leqq \dfrac{2}{y}\)
\(\therefore 2\leqq y\leqq 4\)

(i) \(y=2\)のとき
\((*2)\)は
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}\)
これを満たす自然数 \(z\) は存在しない。

(ii) \(y=3\)のとき
\((*2)\)は
\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}\)
よって\(z=6\)
\(\color{red}{(x,y,z)=(2,3,6)}\)

(iii) \(y=4\)のとき
\((*2)\)は
\(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}\)
よって\(z=4\)
\(\color{red}{(x,y,z)=(2,4,4)}\)

\([3]\, x=3\)のとき \((*1)\) は
\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{3}\quad \cdots\cdots\)\((*3)\)となる
\(y \leqq z\)のとき
\(\dfrac{1}{z} \leqq \dfrac{1}{y}\)
であるから
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \leqq \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{y}\)
\(\therefore y\leqq 3\)
\(3=x\leqq y\) より \(y=3\)
このとき\((*3)\)は
\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{3}\)
よって \(z=3\)
\(\color{red}{(x,y,z)=(3,3,3)}\)

\([1], [2] , [3]\) より
\(\color{red}{(x,y,z)=(2,3,6) , (2,4,4) , (3,3,3)}\)


別解

本解答ではひたすら範囲を絞っていきましたが, 2変数になれば(整数)×(整数)=(整数)の形にしやすいです。

\((*2)\)
\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}\)の両辺を \(2yz\) 倍して整理すると
\(yz-2y-2z=0\)
\(y(z-2)-2(z-2)-4=0\)
\((y-2)(z-2)=4\)
\(2=x\leqq y\leqq z\) より \(0 \leqq (y-2) \leqq (z-2)\)
\(\therefore (y-2,z-2)=(1,4)\, ,\,(2,2)\)
\((y,z)=(3,6)\, ,\,(4,4)\)
\(\color{red}{(x,y,z)=(2,3,6)\, ,\,(2,4,4)}\)


\((*3)\)

\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{3}\) の両辺を \(3yz\) 倍して整理すると
\(2yz-3y-3z\)
\(2y(z-\dfrac{3}{2})-3(z-\dfrac{3}{2})-\dfrac{9}{2}=0\)
\((2y-3)(z-\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{2}\)
両辺を2倍して
\((2y-3)(2z-3)=9\)
\(3=x\leqq y\leqq z \) より \( 2x-3=3 \leqq (2y-3)\leqq(2z-3)\)
\(\therefore (2y-3,2z-3)=(3,3)\)
\(\color{red}{(x,y,z)=(3,3,3)}\)