偶関数・奇関数のいろいろな性質まとめ

\(\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=\displaystyle\int_{-a}^{0}f(x)\,dx+\int_{0}^{a}f(x)\,dx\)
右辺第一項で \(x=-t\) と置換すると
\(\begin{array}{c|c}
x & -a\to 0 \\
\hline
t & \phantom{-}a\to 0 \\
\end{array},\,dx=-dt\)
であるから
\(\phantom{=}\displaystyle\int_{-a}^{0}f(x)\,dx\\
=\displaystyle\int_{a}^{0}f(-t)\,(-dt)\\
=\displaystyle\int_{0}^{a}f(-t)\,dt \quad\bigl(\,\because \,\, -\int_a^0=\int_0^a\,\bigr)\)
よって
\(\phantom{=}\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx\\
=\displaystyle\int_{0}^{a}f(-x)\,dx+\int_{0}^{a}f(x)\,dx\\
=\displaystyle\int_{0}^{a}\bigl\{ f(-x)+f(x)\bigr\}\,dx\)
\(=
\begin{cases}
{\displaystyle\int_0^{a}\bigl\{f(x)+f(x)\bigr\}\,dx=\color{red}{2\int_0^{a}f(x)\,dx}\quad (f(x)\,\text{が偶関数のとき})}\\
{ \displaystyle\int_0^{a}\bigl\{-f(x)+f(x)\bigr\}\,dx=\color{red}{0}\quad (f(x)\,\text{が奇関数のとき})}
\end{cases}\)
(証明終)

・\(f(x)\) が偶関数のとき
\(f(-x)=f(x)\) が成り立つ。
両辺を \(x\) について微分すると
\(f'(-x)\cdot(-x)’=f'(x)\)
\(-f'(-x)=f'(x)\)
よって \(f'(x)\) は奇関数である。

・\(f(x)\) が奇関数のとき
\(f(-x)=-f(x)\) が成り立つ。
両辺を \(x\) について微分すると
\(f'(-x)\cdot(-x)’=-f'(x)\)
\(f'(-x)=f'(x)\)
よって \(f'(x)\) は偶関数である。(証明終)