三角関数の直交性
三角関数の直交性の公式の求め方を解説します。
この公式は大学で習うフーリエ解析でよく使いますが、公式の導出は高校数学の知識だけで可能であり、大学入試問題でテーマになることもあります。
三角関数の直交性
\( \displaystyle (1) \int_{-\pi}^{\pi}\cos{mx}\,\cos{nx}\,dx=\left\{ \begin{array}{l} 0 \,\,(m\neq{n})\\\pi\,\,(m=n) \end{array} \right.\)
\( \displaystyle (2) \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\,\sin{nx}\,dx=\left\{ \begin{array}{l} 0\,\,(m\neq{n})\\\pi\,\,(m=n) \end{array} \right.\)
\( \displaystyle(3) \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\,\cos{nx}\,dx=0\)
ただし\( \,m,n\)は自然数とする。
導出計算
(1),(2),(3) は次のようにして導出できます。
\( \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos{mx}\,\cos{nx}\,dx=\left\{ \begin{array}{l} 0 \,\,(m\neq{n})\\\pi\,\,(m=n) \end{array} \right.\) の導出
\(\mbox{(i)}\, m{\neq}n\) のとき
\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos{mx}\cos{nx}\,dx\)
\(= \dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{\cos{(m+n)x}+\cos{(m-n)x}\right\}\,dx \)
\(=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m+n}\left[\sin{(m+n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m-n}\left[\sin{(m-n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}\)
\(=0\)
\(\mbox{(ii)}\,m=n\) のとき
\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos \,{mx}\,\cos{mx}\,dx\)
\(=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{mx}dx\)
\(=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{1+\cos{2mx}\right\}dx \)
\(=\dfrac{1}{2}\bigl[x\bigl]^{\pi}_{-\pi}
+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2m}\left[ \sin 2mx\right]^{\pi}_{-\pi}\)
\(=\pi\)
\( \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\,\sin{nx}\,dx=\left\{ \begin{array}{l} 0\,\,(m\neq{n})\\\pi\,\,(m=n) \end{array} \right.\) の導出
\(\mbox{(i)}\, m{\neq}n\) のとき
\(\int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,mx\,{\sin}\,nx\,dx \)
\(=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{\cos{(m-n)x}-\cos{(m+n)x}\right\}dx\)
\(=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m-n}\left[\sin{(m-n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m+n}\left[\sin{(m+n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}\)
\(=0\)
\(\mbox{(ii)}\, m=n\) のとき
\(\int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,mx\,{\sin}\,nx\,dx \)
\(=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{mx}dx\)
\(=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{1-\cos{2mx}\right\}dx \)
\(=\dfrac{1}{2}\bigl[x\bigl]^{\pi}_{-\pi}
-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2m}\left[ \sin 2mx\right]^{\pi}_{-\pi}\)
\(=\pi\)
(2)は(1)と符号が微妙に違ったりしますが、ほぼ同じことをしています。
\( \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\,\cos{nx}\,dx=0\) の導出
\(\mbox{(i)}\,m\neq{n}\) のとき
\( \int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,mx\,{\cos}\,nx\,dx \)
\(= \dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{\sin\,{(m+n)x}+\sin\,{(m-n)x}\right\}dx\)
\(=-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m+n}\left[\cos{\,(m+n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m-n}\left[\cos\,{(m-n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}\)
\(=0\)
\(\mbox{(ii)}\,m=n\) のとき
\(\int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,mx\,{\cos}\,mx\,dx\)
\(=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,2mx\,dx\)
\( \displaystyle =-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2m}\left[\cos 2mx\right]^{\pi}_{-\pi}\)
\(=0\)
コサインの性質\(\,{\cos}(-x)={\cos}\,x\,\)を使うと、上下で打ち消し合って0になります。
(i)では三角関数の積を和の形に変えています。
計算の途中で分母に\(\,m-n\,\)がでてくるので,\(\,m\neq n\,\)のときと\(\,m= n\,\)のときで場合分けします。
(ii)では半角の公式を使ってcosの2乗を1乗に変えています。
任意の整数\(\,n\,\)で\(\,{\sin}(n\pi)=0\,\)であることを使いました。