三角関数の直交性

積分数Ⅲ


三角関数の直交性の公式です。
大学で習うフーリエ解析でよく使いますが、公式の導出は高校数学の知識だけで可能であり、大学入試問題でテーマになることもあります。

三角関数の直交性

\( \displaystyle (1) \int_{-\pi}^{\pi}\cos{mx}\,\cos{nx}\,dx=\left\{ \begin{array}{l} 0 \,\,(m\neq{n})\\\pi\,\,(m=n) \end{array} \right.\)

\( \displaystyle (2) \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\,\sin{nx}\,dx=\left\{ \begin{array}{l} 0\,\,(m\neq{n})\\\pi\,\,(m=n) \end{array} \right.\)

\( \displaystyle(3) \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\,\cos{nx}\,dx=0\)

ただし\( \,m,n\)は自然数とする。


導出計算

(1)

\(\mbox{(i)}\, m{\neq}nのとき\)

\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos{mx}\cos{nx}\,dx\)

\(= \dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{\cos{(m+n)x}+\cos{(m-n)x}\right\}\,dx \)

\(=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m+n}\left[\sin{(m+n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m-n}\left[\sin{(m-n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}\)

\(=0\)

\(\mbox{(ii)}\,m=nのとき\)

\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos \,{mx}\,\cos{mx}\,dx\)

\(=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{mx}dx\)

\(=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{1+\cos{2mx}\right\}dx \)

\(=\dfrac{1}{2}\bigl[x\bigl]^{\pi}_{-\pi}
+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2m}\left[ \sin 2mx\right]^{\pi}_{-\pi}\)

\(=\pi\)

(i)では三角関数の積を和の形に変えています。
計算の途中で分母に\(\,m-n\,\)がでてくるので,\(\,m\neq n\,\)のときと\(\,m= n\,\)のときで場合分けします。
(ii)では半角の公式を使ってcosの2乗を1乗に変えています。

任意の整数\(\,n\,\)で\(\,{\sin}(n\pi)=0\,\)であることを使いました。


(2)

\(\mbox{(i)}\, m{\neq}nのとき\)

\(\int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,mx\,{\sin}\,nx\,dx \)

\(=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{\cos{(m-n)x}-\cos{(m+n)x}\right\}dx\)

\(=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m-n}\left[\sin{(m-n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m+n}\left[\sin{(m+n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}\)

\(=0\)

\(\mbox{(ii)}\, m=nのとき\)

\(\int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,mx\,{\sin}\,nx\,dx \)

\(=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{mx}dx\)

\(=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{1-\cos{2mx}\right\}dx \)

\(=\dfrac{1}{2}\bigl[x\bigl]^{\pi}_{-\pi}
-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2m}\left[ \sin 2mx\right]^{\pi}_{-\pi}\)

\(=\pi\)

(2)は(1)と符号が微妙に違ったりしますが、ほぼ同じことをしています。


(3)

\(\mbox{(i)}\,m\neq{n}\mbox{のとき}\)

\( \int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,mx\,{\cos}\,nx\,dx \)

\(= \dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{\sin\,{(m+n)x}+\sin\,{(m-n)x}\right\}dx\)

\(=-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m+n}\left[\cos{\,(m+n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{m-n}\left[\cos\,{(m-n)x}\right]_{-\pi}^{\pi}\)

\(=0\)

\(\mbox{(ii)}\,m=nのとき\)

\(\int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,mx\,{\cos}\,mx\,dx\)

\(=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin}\,2mx\,dx\)

\( \displaystyle =-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2m}\left[\cos 2mx\right]^{\pi}_{-\pi}\)

\(=0\)

コサインの性質\(\,{\cos}(-x)={\cos}\,x\,\)を使うと、上下で打ち消し合って0になります。