積・商の微分の公式と証明

極限, 微分数Ⅲ


積・商の微分の公式

関数 \(f(x),\,g(x)\) が微分可能であるとき, 次が成り立ちます。

積の微分

\(\{f(x)\,g(x)\}’=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)\)


商の微分

\( \left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)}\right\} '=\dfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

とくに, \( \left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\} '=-\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

証明には, 微分係数の定義
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
を使います。

証明:積の微分

\(\{f(x)\,g(x)\}’\)
\(
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)\,g(x+h)\, – f(x)\, g(x)}{h}\\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)\,g(x+h)\color{blue}{-f(x)\,g(x+h)+f(x)\,g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}\\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\left\{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+f(x)\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}
\)
ここで,
\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)\\
\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}g(x+h)=g(x)\\
\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)\)
よって,
\(\color{red}{\{f(x)\,g(x)\}’=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)}\) (終)

証明:商の微分

まず分子が1のときの公式を証明して, それと積の微分を使って証明します。

\( \left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\} ' \\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{1}{h}\cdot \left\{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right\} \\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{1}{h}\cdot \frac{g(x)-g(x+h)}{g(x+h)\,g(x)}\\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\left\{\color{red}{-}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot \dfrac{1}{g(x+h)\,g(x)}\right\} \\
\)
ここで,
\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}-\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=-g'(x) \\
\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{1}{g(x+h)\,g(x)}=\frac{1}{\left\{g(x)\right\}^2}\)
よって,
\(\color{red}{\left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\} '=-\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

これと積の微分の公式から,
\( \left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)}\right\} '\\
=\left\{ f(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)} \right\} ' \\
=f'(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)} + f(x)\cdot \left\{ \dfrac{1}{g(x)} \right\} ' \\
=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x)\cdot g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2} \\
=\color{red}{\dfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\{g(x)\}^2}}
\)
(終)