xのx乗の微分 2通りの計算方法
\(y=x^x\,(x > 0)\) の微分の計算方法を2通り紹介します。
解法1:対数微分法
両辺の対数をとると,
\(\log y=\log x^x=x\log x\)
両辺を\(\,x\,\)で微分すると,
\(\displaystyle\frac{y^{\prime}}{y}=\log x+1\)
よって,
\(y^{\prime}=(\log x+1)y=(\log x+1)x^x\)
解法2:\(x=e^{\log x}\)を用いる
\(y=x^x=(e^{\log x})^x =e^{x\log x}\)
したがって,
\(y^{\prime}=(x\log x)^{\prime}e^{x\log x}\\=(\log x+1)e^{x\log x}\\=(\log x+1)x^x \)