(指数関数)×(三角関数)の不定積分

積分数Ⅲ


問題

\(I= \displaystyle \int e^{ax}\sin{bx}\,dx\)
\(J= \displaystyle \int e^{ax}\cos{bx}\,dx\)
を求めよ。ただし \(a,b\) を\(\,0\,\)でない定数とする。

方針

I を部分積分すると J が出てきます。
同様に J を部分積分すると I が出てくるので、これらを連立して解きます。

解答

\( \displaystyle I=\int (\frac{1}{a}e^{ax})^{\prime}\sin bx \)
\(\displaystyle =\dfrac{1}{a}e^{ax}\sin bx -\dfrac{1}{a}\int e^{ax}(\sin bx)^{\prime}\,dx\)
\(\displaystyle =\dfrac{1}{a}e^{ax}\sin bx -\dfrac{b}{a}\underbrace{\int e^{ax}\cos bx\,dx}_{J}\)
同様に
\( \displaystyle J=\int (\frac{1}{a}e^{ax})^{\prime}\cos bx \)
\(=\dfrac{1}{a}e^{ax}\cos bx +\dfrac{b}{a}\underbrace{\int e^{ax}\sin bx\,dx}_{I}\)

\(I\) と \(J\) の連立方程式
\(\left\{ \begin{array}{l}
I+\dfrac{b}{a}J=\dfrac{e^{ax}}{a}\sin bx \cdots \unicode{x2460}\\
-\dfrac{b}{a}I+J=\dfrac{e^{ax}}{a}\cos bx \cdots \unicode{x2461}\\
\end{array} \right.\)
を解けばよい。
\(\unicode{x2460}\times a\, – \unicode{x2461}\times b\) より \(J\) を消去して
\(\left( a+\dfrac{b^2}{a}\right)I=e^{ax}\sin bx -\dfrac{b}{a}e^{ax}\cos bx\)
\(I=\dfrac{a}{a^2+b^2}\,e^{ax}\left(\sin bx -\dfrac{b}{a} \cos bx \right)\)
\(\color{red}{I=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx\, – b\cos bx) +C}\)

\(\unicode{x2460}\times b\, + \unicode{x2461}\times a\) より \(I\) を消去して
\(\left( \dfrac{b^2}{a}+ a \right)J=\dfrac{b}{a}e^{ax}\sin bx +e^{ax} \cos bx \)
\(\color{red}{J=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(b\sin bx + a \cos bx) +C}\)

不定積分なので積分定数Cを付けます。