三角関数の極限の公式と例題
三角関数の極限の公式
(1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\quad\) (重要)
(2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1\)
(3) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\)
三角関数の極限値を求める問題では,上記の公式と併せて
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\,\sin x=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\,\cos x=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\,\tan x=0\)
であることも使います。
(2) と (3) は, 次のように (1) を使って導けます。
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}\ \\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}\\
=1\cdot 1 = \color{red}{1}\)
(3) を (1) から導く
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-\cos x)\color{blue}{(1+\cos x)}}{x^2\,\color{blue}{(1+\cos x)}}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}\\
=1^2\cdot \dfrac{1}{1+1}=\color{red}{\dfrac{1}{2}}
\)
例題と解答
三角関数を含んだ式の極限値を求める例題を3つ紹介します。
例題1
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 3x}{x}\) を求めよ。
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 3x}{x}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\,\color{blue}{3}\cdot\dfrac{\sin 3x}{\color{blue}{3}x} \\
=3\cdot 1=\color{red}{3}\)
公式 (1) を使いました。
例題2
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{\sin 2x}\) を求めよ。
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{\sin 2x}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{\color{blue}{x}}\cdot \frac{\color{blue}{2x}}{\sin 2x}\cdot\frac{1}{\color{blue}{2}}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{\color{blue}{x}}\cdot \frac{1}{\frac{\sin 2x}{\color{blue}{2x}}}\cdot\frac{1}{\color{blue}{2}}\\
=1\cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2}=\color{red}{\dfrac{1}{2}}\)
公式 (1) と (2) を使いました。
例題3
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}\) を求めよ。
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin^2 x}{\color{blue}{x^2}}\cdot \frac{\color{blue}{x^2}}{1-\cos x}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin^2 x}{\color{blue}{x^2}}\cdot \frac{1}{\dfrac{1-\cos x}{\color{blue}{x^2}}}\\
=1^2 \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=\color{red}{2}\)
公式 (1) と (3) を使いました。次の別解のように極限の公式を使わずに解くことも可能です。
別解
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos^2 x}{1-\cos x}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(1 -\cos x)(1+\cos x)}{1-\cos x}\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\,(1+\cos x) \\
=1+1=\color{red}{2}
\)