3次関数の極値の差を求める方法

\(\alpha=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\,\beta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)

また， \(f'(x)=6(x-\alpha)\,(x-\beta)\)

\(f(x)\) は \(x^3\) の係数が正であるから, \(x=\alpha\) で極大値, \(x=\beta\) で極小値をとる。
よって極大値と極小値の差は
\(\displaystyle f(\alpha)-f(\beta)=\int_\beta^{\alpha}f'(x)\,dx\\
=\displaystyle \int_{\beta}^{\alpha}6(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\
=6\cdot \big( -\dfrac{1}{6}\big)(\alpha -\beta)^3\quad(1/6公式より)\\
=-\big(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}-\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\big)^3 \\
=-(-\sqrt{5})^3=\color{red}{5\sqrt{5}}\)

\(f'(x)=0\) の解を \(\alpha,\,\beta\,(\alpha < \beta)\) とすると
\(f'(\alpha)=0,\,f'(\beta)=0\) だから
\(f(\alpha)=\underbrace{f'(\alpha)}_{=0}\big(\dfrac{\alpha}{3}+\dfrac{1}{6}\big) +(-5\alpha + 1)\\
\phantom{f(x)}=-5\alpha +1\)
同様に, \(f(\beta)=-5\beta+1\)

\(\alpha,\beta\) は \(f'(x)=6x^2+6x-6=0\) の解だから
\(\alpha=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\,\beta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)

よって極大値と極小値の差は
\(f(\alpha)-f(\beta)\\
=(-5\alpha +1)-(-5\beta +1)\\
=-5(\alpha -\beta)\\
=-5\big(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}-\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\big)\\
=\color{red}{5\sqrt{5}}\)