【積分】1/6公式と1/12公式の証明

積分


曲線や直線で囲まれた面積を求める際によく用いる積分公式を紹介します。

公式

\((1)\quad \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)

\((2)\quad \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4 \)

\((3)\quad \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)^2\,dx=\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\)

(1)は暗記必須です。
(2), (3) は必要に応じてその場で導出できればよいです。

公式の導出方法

上記の公式が成り立つことを実際に計算して確認します。
展開してごり押しで計算することも可能ですが, 手間がかかります。
\((x-\alpha)\) または \((x-\beta)\) のカタマリを作って
\(\displaystyle\int (x-\alpha)^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}(x-\alpha)^{n+1}\)
を利用することで計算が楽になります。


(1) の証明
\(\phantom{=}\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\)
\(=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x\color{red}{-\alpha+\alpha}-\beta)\,dx\)
\(=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)\{(x-\alpha)-(\beta -\alpha)\}\,dx\)
\(=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2-(\beta -\alpha)(x-\alpha)\,dx\)
\(=\left[\dfrac{1}{3}(x-\alpha)^3 – \dfrac{1}{2}(\beta \, – \alpha)(x-\alpha )^2 \right]_{\alpha}^{\beta}\)
\(=\dfrac{1}{3}(\beta\, -\alpha)^3 – \dfrac{1}{2}(\beta \, -\alpha)^3\)
\(=-\dfrac{1}{6}(\beta \,- \alpha)^3\)


(2) の証明
\(\phantom{=}\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\)
\(=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x\color{red}{-\alpha +\alpha} -\beta)\,dx\)
\(=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2\{(x-\alpha)\,-(\beta \,- \alpha)\}\,dx\)
\(=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^3\, – (\beta \,- \alpha)(x-\alpha)^2\}\,dx\)
\(=\left[ \dfrac{1}{4}(x \,- \alpha)^4 -\dfrac{1}{3}(\beta \, -\alpha)(x-\alpha)^3 \right]_{\alpha}^{\beta}\)
\(=\dfrac{1}{4}(\beta \, -\alpha)^4 – \dfrac{1}{3}(\beta \, -\alpha)^4\)
\(=-\dfrac{1}{12}(\beta \, -\alpha)^4\)


(3) の証明
\(\phantom{=}\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)^2\,dx\)
\(=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x\color{red}{-\beta + \beta}-\alpha)(x-\beta)^2\)
\(=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{ (x\,- \beta) -(\alpha\,- \beta)\}(x-\beta)^2\,dx\)
\(=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{ (x\,- \beta)^3 -(\alpha\,- \beta)(x \,-\beta)^2\}\,dx\)
\(=\left[\dfrac{1}{4}(x \,-\beta)^4- \dfrac{1}{3}(\alpha \,-\beta)(x\,-\beta)^3\right]_{\alpha}^{\beta}\)
\(=-\dfrac{1}{4}(\alpha \,-\beta)^4 + \dfrac{1}{3}(\alpha \,-\beta)^4\)
\(=\dfrac{1}{12}(\alpha\,-\beta)^4 \\
=\dfrac{1}{12}(\beta\,-\alpha)^4\)

面積への応用

これらの公式は, 次のように面積を求めるときに有用です。

放物線と直線で囲まれた部分の面積

放物線と直線で囲まれた面積

上図のように, 放物線 \(C:\,y=ax^2+bx+c\,\,(a>0)\) と直線 \(l:\,y=mx+n\) が2点で交わり, 交点の \(x\) 座標が \(\alpha,\,\beta\) であるとき, \(C\) と \(l\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とすれば,
\(\displaystyle S=\int_{\alpha}^{\beta}\{(mx+n)-(ax^2+bx+c)\}\,dx\)
\(\displaystyle \phantom{S}=\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\)
\(\displaystyle \phantom{S}=(-a)\cdot (-\dfrac{1}{6}) \cdot (\beta-\alpha)^3\) (∵公式(1))
\(\displaystyle \phantom{S}=\color{red}{\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^3}\)

曲線と接線で囲まれた部分の面積

曲線と接線で囲まれた面積

上図のように, 曲線 \(C:\,y=ax^3+bx^2+cx+d\,\,(a>0)\) と直線 \(l:\,y=mx+n\) が \(x=\alpha\) で接し, \(x=\beta\) で交わるとき, \(C\) と \(l\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とすれば,
\(\displaystyle S=\int_{\alpha}^{\beta}\{(mx+n)-(ax^3+bx^2+cx+d)\}\,dx\)
\(\displaystyle \phantom{S}=\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\)
\(\displaystyle \phantom{S}=(-a)\cdot (-\dfrac{1}{12}) \cdot (\beta-\alpha)^4\)  (∵公式(2))
\(\displaystyle \phantom{S}=\color{red}{\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^4}\)

曲線と接線で囲まれた部分の面積その2

曲線と接線で囲まれた面積

上図のように, 曲線 \(C:\,y=ax^3+bx^2+cx+d\,\,(a>0)\) と直線 \(l:\,y=mx+n\) が \(x=\alpha\) で交わり, \(x=\beta\) で接するとき, \(C\) と \(l\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とすれば,
\(\displaystyle S=\int_{\alpha}^{\beta}\{(ax^3+bx^2+cx+d)-(mx+n)\}\,dx\)
\(\displaystyle \phantom{S}=\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)^2\,dx\)
\(\displaystyle \phantom{S}=a \cdot \dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\) (∵公式(3))
\(\displaystyle \phantom{S}=\color{red}{\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^4}\)