x=tanθとおく置換積分の要点と例題

積分数Ⅲ


\(\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2+a^2}\) 型の積分は, \(x=a\tan \theta\) と置換して計算するのが鉄則です。
タンジェントで置換する積分問題の解法テンプレート, 例題を紹介します。

テンプレート

積分計算で \(x=\tan\theta\) と置換するときにやることは, 主に以下の3つです。

1. \(x\) と \(\theta\) の範囲の対応を調べる
\(x=\tan\theta\) とおくと
\(\begin{array}{l|l}
x &\square\rightarrow \square \\
\hline
\theta & \square\rightarrow \square \\
\end{array}
\)


2. \(\dfrac{dx}{d\theta}\) の計算
\(\dfrac{dx}{d\theta}\)
\(=\dfrac{d}{d\theta}(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}) \\
=\dfrac{(\sin\theta)^\prime \cos\theta -\sin\theta(\cos\theta)^\prime}{\cos^2\theta}\\
=\dfrac{\cos^2\theta +\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\
=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

よって,
\(\color{red}{dx=\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta}\)


3. \(f(x)\)を \(\theta\) のみの式にする

※必ずしもこの順番でやる必要はないです

基本例題

問題

次の定積分の値を求めよ。
\(\displaystyle\int_0^2 \dfrac{dx}{x^2+4}\)

解答

\(x=2\tan\theta\) とおくと
\(x:0\rightarrow 2\) のとき
\(\theta :0\rightarrow \dfrac{\pi}{4}\)

\(\dfrac{dx}{d\theta} =\dfrac{2}{\cos^2\theta}\)より, \(dx=\dfrac{2}{\cos^2\theta}d\theta\)

また,
\(\dfrac{1}{x^2+4}=\dfrac{1}{4(\tan^2\theta +1)}=\dfrac{\cos^2\theta}{4}\)
したがって,
\( \displaystyle\int_0^2 \dfrac{dx}{x^2+4}\\
=\displaystyle \int_0^{\large\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos^2\theta}{4}\cdot \dfrac{2}{\cos^2\theta}\,d\theta \\
=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_0^{\large\frac{\pi}{4}}d\theta \\
=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi}{4}=\color{red}{\dfrac{\pi}{8}}\)