f'(x)/f(x) 型の分数関数の積分 基本例題
公式
\(\color{blue}{\displaystyle\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\log |f(x)|+C}\) (\(C\) は積分定数)
分子が分母の微分になるように変形できればこの公式が使えます。
例題
全て上記の公式を活用して解ける問題です。
問題 次の不定積分を求めよ。
(1) \(\displaystyle\int\dfrac{x}{x^2+1}\,dx\)
(1) \(\displaystyle\int\dfrac{x}{x^2+1}\,dx\)
(2)\(\displaystyle\int\dfrac{dx}{1+e^{-x}}\)
(3)\(\displaystyle\int\tan x \,dx\)
解答
(1) \(\displaystyle\int\dfrac{x}{x^2+1}\,dx\)
\(=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int\dfrac{(x^2+1)^{\prime}}{x^2+1}\,dx\)
\(=\color{red}{\displaystyle\dfrac{1}{2}\,\log (x^2+1)+C}\)
\(=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int\dfrac{(x^2+1)^{\prime}}{x^2+1}\,dx\)
\(=\color{red}{\displaystyle\dfrac{1}{2}\,\log (x^2+1)+C}\)
\(x^2+1\) を微分すると\(2x\) になるので、これに \(1/2\) をかけると問題と一致します。
\(x^2+1\) は正の数なので\(\log\) に絶対値をつけなくてもよいです。
(2)\(\displaystyle\int\dfrac{dx}{1+e^{-x}}\)
\(=\displaystyle\int\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx\) (分母子に\(e^x\) をかけた)
\(=\displaystyle\int\dfrac{(e^x+1)^{\prime}}{e^x+1}\,dx\)
\(=\color{red}{\log (e^x+1)+C}\)
\(=\displaystyle\int\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx\) (分母子に\(e^x\) をかけた)
\(=\displaystyle\int\dfrac{(e^x+1)^{\prime}}{e^x+1}\,dx\)
\(=\color{red}{\log (e^x+1)+C}\)
\(e^x+1\) は正の数なので\(\log\) に絶対値をつけなくてもよいです。
(3)\(\displaystyle\int\tan x \,dx\)
\(=\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\cos x} \,dx\)
\(=\displaystyle\int\dfrac{-(\cos x)^{\prime}}{\cos x} \,dx\)
\(=\color{red}{\displaystyle -\log |\cos x|+C}\)
\(=\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\cos x} \,dx\)
\(=\displaystyle\int\dfrac{-(\cos x)^{\prime}}{\cos x} \,dx\)
\(=\color{red}{\displaystyle -\log |\cos x|+C}\)
\(\tan x\) のべき乗の積分をより詳しく別記事で扱っています。
→タンジェントの不定積分