整式とex のかけ算型の積分 

積分数Ⅲ


例えば, \((x^3+2x^2)\,e^x\) といったような『 \((\textbf{整式})\times e^{\pm x}\) 』の形をした関数を積分する方法を紹介します。


公式と導出方法

\(f(x)\cdot e^{\pm x}\) 型の不定積分公式

(i) \(\displaystyle\int f(x)\,e^x\,dx =\{f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)-\cdots\}\,e^x + C\)

(ii) \(\displaystyle \int f(x)\,e^{-x}\,dx=-\{f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots\}\,e^{-x}+C\)

上記の公式は, 部分積分を使って導くことができます。

(i)の導出
\(\displaystyle\int f(x)\, e^x\,dx\)
\(\displaystyle=f(x)\,e^x-\int f^{\prime}(x)\,e^x\,dx\)
\(\displaystyle=f(x)\,e^x-f^{\prime}(x)\,e^x+\int f^{\prime\prime}(x)\,e^x\,dx\)
\(\displaystyle=\{f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)-\cdots\}\,e^x +C\)


(ii)の導出
\(\displaystyle\int f(x)\,e^{-x}\,dx\)
\(\displaystyle =f(x)(-e^{-x})+\int f^{\prime}(x)\,e^{-x}\,dx\)
\(\displaystyle =-f(x)e^{-x}+\int f^{\prime}(x)\,(-e^{-x})^{\prime}\,dx\)
\(\displaystyle =-f(x)e^{-x}-f^{\prime}(x)e^{-x}+\int f^{\prime\prime}(x)e^{-x}\,dx\)
\(\displaystyle =-\{f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots\}e^{-x}+C\)

実際の計算問題では, \(f(x)\) 側の微分が 0 になるまで部分積分を繰り返します。

例題

次の不定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle \int (x^3+2x^2)\,e^x \,dx\)

(2)\(\displaystyle \int (x^3+2x^2)\,e^{-x} \,dx\)

整式の部分は 3 次式なので, 微分を 4 回すれば 0 になります。

解答

\(f(x)=x^3+2x^2\) とおく。
\(f^{\prime}(x)=3x^2+4x\)
\(f^{\prime\prime}(x)=6x+4\)
\(f^{\prime\prime\prime}(x)=6\)
\(f^{\prime\prime\prime\prime}(x)=0\)
したがって、
(1)

\(\displaystyle \int f(x)\,e^{x}\,dx\)
\(=\{f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)-f^{\prime\prime\prime}(x)\}e^x+C\)
\(=\{(x^3+2x^2)-(3x^2+4x)+(6x+4)-6\}\,e^x+C\)
\(=\color{red}{(x^3-x^2+2x-2)\,e^x+C}\)

(2)

\(\displaystyle \int f(x)\,e^{-x}\,dx\)
\(=-\{f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime\prime\prime}(x)\}e^{-x}+C\)
\(=-\{(x^3+2x^2)+(3x^2+4x)+(6x+4)+6\}\,e^{-x}+C\)
\(=\color{red}{-(x^3+5x^2+10x+10)e^{-x}+C}\)