背理法を使って無理数であることを証明する例題
無理数であることを証明する問題では, 背理法を使うのが定石です。
『有理数であると仮定したら矛盾が生じる、よって無理数である。』という証明の流れになります。
有理数は \(\dfrac{q}{p}\, (p,q\textbf{は整数}, q\neq 0)\) と表せることを利用します。
例題を２つ紹介します。
例１
\({\log}_2 3\) は無理数であることの証明
証明
\({\log}_2 3\) が有理数であると仮定する。
\(\log_2 3 >0\) であるから,
\({\log}_2 3=\dfrac{q}{p}\,(p,q\textbf{は正の整数})\)と表せる。
このとき,
\(2^{{\log}_2 3}=2^\frac{q}{p}\)
\(3=2^\frac{q}{p}\)
両辺をp乗すると,
\(3^p=2^q\)
左辺は奇数, 右辺は偶数となり矛盾。よって \({\log}_2 3\) は無理数である。
例2
素数\(p\)に対して, \(\sqrt{p}\) は無理数であることの証明
証明
\(\sqrt{p}\)が有理数であると仮定すると,
\(\sqrt{p}=\dfrac{b}{a}\,(a,b\textbf{は整数})\) と表せる。
両辺を2乗すると,
\(p=\dfrac{b^2}{a^2}\)
\(p a^2 = b^2 \)
両辺の素因数\(p\)の個数を比較すると,左辺は奇数個,右辺は偶数個であり矛盾。
よって \(\sqrt{p}\) は無理数である。
[例2 補足]
\(a^2\)は平方数なので, 素因数 \(p\) を偶数個,つまり \(2n\) 個もちます。(素因数 \(p\) をもたないときも \(n=0\) で偶数個)
よって, \(p a^2\) は素因数 \(p\) を \(2n+1\)個(奇数個)もちます。
また, \(b^2\) は平方数なので,素因数 \(p\) を偶数個持ちます。