偶奇の一致の判定法・証明・例題

整数


偶奇の一致の判定法と証明

2つの整数 \(a,b\) の偶奇が一致するかどうかを判定するには, 和 \(a+b\) の偶奇を調べればよいです。

偶奇の一致の判定法

\([1]\quad a+b\) が偶数 \(\Leftrightarrow\) \(a\) と \(b\) の偶奇は一致する

\([2]\quad a+b\) が奇数 \(\Leftrightarrow\) \(a\) と \(b\) の偶奇は異なる

証明(タップ/クリックで開閉)
\([1]\)の証明
(1)
\(a+b\) が偶数 \(\Rightarrow\) \(a\) と \(b\) の偶奇は一致する』\(\,\cdots(*1)\)
を示すには, 対偶\(a\) と \(b\) の偶奇は異なる \(\Rightarrow\) \(a+b\) が奇数』を示せばよい。

\(a\) と \(b\) の偶奇が異なるのは, \(a\) が偶数で \(b\) が奇数のとき, または \(a\) が奇数で \(b\) が偶数のときである。

\(\bullet\,\, a\) が偶数で \(b\) が奇数のとき
\(a=2k\)
\(b=2l+1\) (\(k,l\) は整数)
と表せる。このとき,
\(a+b=2k+2l+1=2(k+l)+1\)
となり, \(k+l\) は整数なので
\(a+b\) は奇数である。

\(\bullet\,\, a\) が奇数で \(b\) が偶数のとき
\(a=2k+1\)
\(b=2l\) (\(k,l\) は整数)
と表せる。このとき,
\(a+b=2k+1+2l=2(k+l)+1\)
となり, \(k+l\) は整数なので
\(a+b\) は奇数である。
よって対偶が示されたので, \(\,(*1)\) も成り立つ。

(2)
次に,『\(a\) と \(b\) の偶奇は一致する\(\Rightarrow\) \(a+b\) が偶数』\(\,\cdots(*2)\) を示す。

\(a\) と \(b\) の偶奇が一致するのは, \(a,\,b\) がともに偶数, またはともに奇数のときである。

\(\bullet\,\, a,\,b\) がともに偶数のとき
\(a=2k\)
\(b=2l\) (\(k,l\) は整数)
と表せる。このとき,
\(a+b=2k+2l=2(k+l)\)
となり, \(k+l\) は整数なので
\(a+b\) は偶数である。

\(\bullet\,\, a,\,b\) がともに奇数のとき
\(a=2k+1\)
\(b=2l+1\) (\(k,l\) は整数)
と表せる。このとき,
\(a+b=2k+1+2l+1=2(k+l+1)\)
となり, \(k+l+1\) は整数なので
\(a+b\) は偶数である。
よって \((*2)\) が成り立つ。

(1), (2) より
\(a+b\) が偶数 \(\Leftrightarrow\) \(a\) と \(b\) の偶奇は一致する
が成り立つ。(終)


[2]の証明
(3)
\(a+b\) が奇数 \(\Rightarrow\) \(a\) と \(b\) の偶奇は異なる』\(\,\cdots(*3)\)
を示すには, 対偶\(a\) と \(b\) の偶奇は一致する \(\Rightarrow\) \(a+b\) が偶数』を示せばよい。
\([1]\)(2) と同様に考えて, \((*3)\) は成り立つ。

(4)
次に,『\(a\) と \(b\) の偶奇は異なる\(\Rightarrow\) \(a+b\) が奇数』\(\,\cdots(*4)\) を示す。
\([1]\)(1) と同様に考えて, \((*4)\) は成り立つ。

(3), (4) より
\(a+b\) が奇数 \(\Leftrightarrow\) \(a\) と \(b\) の偶奇は異なる
が成り立つ。(終)

この判定法を使えば, 整数問題でよく使われる次の性質を確認できます。

例: 2整数の和と差の偶奇は一致する

\(m,n\) を整数とすると
\((m+n)+(m-n)=2m\) は偶数なので
\(m+n\) と \(m-n\) の偶奇は一致します。
(以下の例題でもこれを使います。)

例: 隣り合う整数の偶奇は異なる

\(n\) を整数とすると
\(n+(n+1)=2n+1\) は奇数なので
\(n\) と \(n+1\) の偶奇は異なります。

補足

\(a\) と \(b\) の差を考えても偶奇の一致の判定ができます。

\([1]’\quad a-b\) が偶数 \(\Leftrightarrow\) \(a\) と \(b\) の偶奇は一致する

\([2]’\quad a-b\) が奇数 \(\Leftrightarrow\) \(a\) と \(b\) の偶奇は異なる

例題

問題

\(x^2-y^2=12\) を満たす正の整数 \(x,y\) の組を求めよ。

方針
因数分解してかけ算の形にします。偶奇の一致や正の整数の条件を使って答えの候補を絞っていきます。

解答

\(\phantom{\Leftrightarrow}x^2-y^2=12\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=12\)
より,
\((x+y,\,x-y) \\
=(\pm 12,\,\pm 1),\,(\pm 6,\,\pm 2 ),\,(\pm 4,\pm 3),\\
\phantom{=\,}(\pm 3,\pm 4), (\pm 2,\pm 6),(\pm 1,\,\pm 12)\,(\textbf{複合同順})\)
\((x+y)+(x-y)=2x\) は偶数なので \(x+y\) と \(x-y\) の偶奇は一致するから
\((x+y,\,x-y)\\
=(\pm 6,\,\pm 2 ),(\pm 2,\pm 6)\)
\(x,y\) は正の整数なので \(x+y>0,\,\,x+y>x-y\) だから
\((x+y,\,x-y)=(6,2)\)
よって \(x=4,\,y=2\)