桁数、最高位の数、一の位の数を求める方法
桁数, 最高位の数, 一の位の数, 小数第何位に初めて0以外の数が現れるか, を求めるための基礎知識を紹介します。後半の例題で使い方を確認してみてください。
桁数
\(\color{blue}{ 10^a \leqq x < 10^{a+1}}\)
のとき, \( x \) の桁数は \({a+1}\) である。
常用対数をとると,
\(\color{blue}{a \leqq \log_{10} x < a+1}\)
右側の不等号にイコールをつけてはいけないことに注意してください。
もしイコールをつけてしまったら \(a+2\) 桁である可能性が発生してしまいます。
例：\(10^2 \leqq x < 10^3 \) のとき \(x\) は3桁の数
最高位の数
\(\color{blue}{a\cdot 10^n \leqq x < (a+1)\cdot 10^n}\) (\(a\) は1から9までの整数)
のとき, \(x\) の最高位の数は \(a\) である。
常用対数をとると,
\(\color{blue}{\log_{10}a + n \leqq \log_{10}x < \log_{10}(a+1) + n }\)
例：\(3\cdot 10^2 \leqq x < 4\cdot 10^2 \) のとき \(x\) の最高位の数は3
一の位の数
・10を法とした合同式を考える
または
・規則性から導く
小数第何位に初めて0以外の数が現れるか
\(\color{blue}{ 10^{-a} \leqq x < 10^{-a+1}}\)
のとき, \(x\) は小数第 \(a\) 位に初めて0以外の数字が現れる。
常用対数をとると,
\(\color{blue}{-a \leqq \log_{10} x < -a+1}\)
例：\(10^{-3} \leqq x < 10^{-2} \) のとき, 小数第3位に初めて0以外の数字が現れる
例題
\((2) \quad 3^{20}\)の最高位の数を求めよ。
\((3) \quad 3^{20}\)の一の位の数を求めよ。
\((4) \quad 3^{-20}\)は小数第何位に初めて0以外の数字が現れるか。
ただし, \(\log_{10}2=0.3010 ,\quad \log_{10}3=0.4771\) とする。
解答
\(\log_{10}3^{20}\)
\(=20\log_{10}3=20\cdot0.4771=9.542\)
したがって
\(9 < \log_{10}3^{20} <10\)
\(10^9 < 3^{20} <10^{10}\)
よって, \(3^{20}\)は \(\color{red}{10}\) 桁の数
(2)
最高位の数を \(a\) とおくと
\(a\cdot 10^9 \leqq 3^{20} < (a+1)\cdot 10^{9}\)
各辺の常用対数をとると
\( \log_{10}(a\cdot 10^9) \leqq \log_{10}3^{20} < \log_{10} ((a+1) \cdot 10^9)\)
\(\Leftrightarrow \log_{10} a + 9 \leqq 9.542 <\log_{10}(a+1) +9\)
つまり
\( \log_{10}a \leqq 0.542 < \log_{10}(a+1)\)
ここで
\( \log_{10}3=0.4771\)
\( \log_{10}4=2\log_{10}2=0.6020\)
よって
\( \log_{10}3 \leqq 0.542 < \log_{10}4 \)
したがって \(a=\color{red}{3}\)
(3)
\(3^4=81 \equiv 1\,\pmod{10}\) より
\(3^{20}=(3^4)^5 \equiv 1^5\)であるから
一の位の数は \(\color{red}{1}\)
(3 別解)
\(3^1,3^2,3^3,3^4,3^5,3^6\cdots\)
の一の位は
\(3,9,7,1,3,9,\cdots\)
であり
\(3,9,7,1\) の繰り返しになる。
よって
\(3^{20}\)の一の位の数は\(3^4\)の一の位の数と等しく, \(\color{red}{1}\)
(4)
\(\log_{10}3^{-20}\)
\(=-20\log_{10}3=-20\cdot0.4771=-9.542\)
したがって
\(-10 < \log_{10}3^{-20} <-9\)
\(10^{-10} < 3^{-20} <10^{-9}\)
よって, \(3^{-20}\) は小数第\(\color{red}{10}\) 位に初めて0以外の数字が現れる。