平方根が整数となる条件 4パターンの例題
平方根(ルート)で表された式が整数となる条件を求める問題の解き方を紹介します。
かけ算、分数、足し算、引き算の４パターンを解説します。
かけ算型
例題
\(\sqrt{84n}\) が自然数となるような最小の自然数 \(n\) を求めよ。
解答
\(84n=2^2\cdot 3\cdot 7 \cdot n\)
これが平方数になるような自然数 \(n\) のうち最小のものは,
\(n=3\cdot 7=\color{red}{21}\)
これが平方数になるような自然数 \(n\) のうち最小のものは,
\(n=3\cdot 7=\color{red}{21}\)
解説
\(\sqrt{\textbf{平方数}}\) の形を作ります。
ルートの中身を素因数分解したとき,
\(\sqrt{p^{\color{red}{2a}}q^{\color{red}{2b}}\cdots}\)
というように,全てが偶数乗になるようにすれば平方数になります。(ゼロ乗も偶数乗)
次の分数型も同様に考えます。
分数型
例題
\(\displaystyle\sqrt{\dfrac{8n}{15}}\) が自然数となるような最小の自然数 \(n\) を求めよ。
解答
\(\dfrac{8n}{15}=2^3\cdot 3^{-1}\cdot 5^{-1} \cdot n\)
これが平方数になるような自然数 \(n\) のうち最小のものは,
\(n=2\cdot 3 \cdot 5 =\color{red}{30}\)
これが平方数になるような自然数 \(n\) のうち最小のものは,
\(n=2\cdot 3 \cdot 5 =\color{red}{30}\)
足し算型
例題
\(\sqrt{n^2+15}\) が自然数となるような自然数 \(n\) をすべて求めよ。
解答
\(\sqrt{n^2+15}=m\quad\)(\(m\) は自然数)とおく。
両辺を2乗すると,
\(n^2+15=m^2\)
\(\Leftrightarrow m^2-n^2=15\)
\(\Leftrightarrow (m+n)(m-n)=15\)
\(m+n >0,\quad m-n>0\)
\(m+n > m-n\) より,
\((m+n,m-n)=(15,1),\,(5,3)\)
\((m,n)=(8,7),\,(4,1)\)
\(\therefore \color{red}{n=7,1}\)
両辺を2乗すると,
\(n^2+15=m^2\)
\(\Leftrightarrow m^2-n^2=15\)
\(\Leftrightarrow (m+n)(m-n)=15\)
\(m+n >0,\quad m-n>0\)
\(m+n > m-n\) より,
\((m+n,m-n)=(15,1),\,(5,3)\)
\((m,n)=(8,7),\,(4,1)\)
\(\therefore \color{red}{n=7,1}\)
解説
\(\sqrt{n^2+\Box}\)の型は, \(m\) とおいて2乗します。
変形すれば\(m^2-n^2=\Box\) になって因数分解できます。
→整数問題の３つの解法パターン
引き算型
例題
\(\sqrt{29-n}\) が自然数となるような自然数 \(n\) は全部で何個あるか。
解答
これが平方数となるのは
\(29-n=1,4,9,16,25\) のとき
(\(n=28,25,20,13,4\) のとき)
よって, \(n\) の個数は5個である。
\(29-n=1,4,9,16,25\) のとき
(\(n=28,25,20,13,4\) のとき)
よって, \(n\) の個数は5個である。
解説
29より小さい平方数の個数を数えました。