tan(x/2)=t のとき sinx, cosx, tanxをtを使って表す
\({\tan}\,\dfrac{x}{2}=t\) のとき、以下が成り立つ。
\({\sin}\,x=\dfrac{2t}{1+t^2}\)
\({\cos}\,x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)
\({\tan}\,x=\dfrac{2t}{1-t^2}\)
この公式は色々な方法で導出できます。
【方法１】
・tan は加法定理から導出
・cos は2倍角の公式を適用後、tanとcosの関係を利用して導出
・sin は \(\sin\,x=\tan\,x\cdot\cos\,x\)から導出
【方法２】
・分母を \(\sin^2 \dfrac{x}{2} +\cos^2 \dfrac{x}{2} =1\) とおく
・その後、分母子を\(\cos^2 \dfrac{x}{2}\) で割る
【方法１による導出】
\({\tan}\,x\\
={\tan}\,(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2})\\
=\dfrac{{\tan}\,\dfrac{x}{2}+\tan\,\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}\tan\dfrac{x}{2}}\\
=\dfrac{2t}{1-t^2}\)
\(\cos\,x=\cos\,(2\cdot\dfrac{x}{2})=2{\cos}^2\,\dfrac{x}{2}-1\)
\({\cos}^2\,\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{1+\tan^2\,{\dfrac{x}{2}}}=\dfrac{1}{1+t^2}\)
だから
\(\cos\,x=\dfrac{2}{1+t^2}-1=\)\(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\sin\,x\)
\(=\tan\,x\cdot\cos\,x\)
\(=\dfrac{2t}{1-t^2}\cdot\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(=\dfrac{2t}{1+t^2}\)
【方法２による導出】
\(\sin x\)
\(=\dfrac{2\sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}}{\sin^2 \dfrac{x}{2}+\cos^2 \dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{\tan^2 \dfrac{x}{2}+1}\)
\(=\dfrac{2t}{1+t^2}\)
\(\cos x\)
\(=\dfrac{\cos^2\dfrac{x}{2}-\sin^2 \dfrac{x}{2}}{\cos^2 \dfrac{x}{2}+\sin^2 \dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{1-\tan^2 \dfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\tan x\)
\(=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
\(=\dfrac{2t}{1-t^2}\)
三角関数を含む積分でこの公式を利用することがあります。
積分計算の例は下記の記事で紹介しています。
tan(x/2)=tを用いる三角関数の積分