3変数対称式の計算

\(x^2+y^2+z^2\)
\(=(x+y+z)^2 -2(xy +yz +zx)\)
\(=\color{blue}{p^2-2q}\)

\(x^3+y^3+z^3\)
\(=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2)\)
\(=p(p^2-2q)-xy\color{red}{(x+y)}-yz\color{red}{(y+z)}-zx\color{red}{(z+x)}\)
\(=p(p^2-2q)-xy\color{red}{(p-z)}-yz\color{red}{(p-x)}-zx\color{red}{(p-y)}\)
\(=p(p^2-2q)-p(xy+yz+zx)+3xyz\)
\(=p(p^2-2q)-pq+3r\)
\(=\color{blue}{p^3-3pq+3r}\)

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赤字部分で
\(x+y+z=p\) より
\(x+y=p-z\) となることを用いました。

\(x^4+y^4+z^4\)
\(=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\)
\(=(x^2+y^2+z^2)^2-2\{(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)\}\)
\(=(p^2-2q)^2-2(q^2-2pr)\)
\(=\color{blue}{p^4-4p^2q+2q^2+4pr}\)

\(x^5+y^5+z^5\)
\(=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-x^2y^2\color{red}{(x+y)}-y^2z^2\color{red}{(y+z)}-z^2x^2\color{red}{(z+x)}\)
\(=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-x^2y^2\color{red}{(p-z)}-y^2z^2\color{red}{(p-x)}-z^2x^2\color{red}{(p-y)}\)
\(=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-p(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+xyz(xy+yz+zx)\)
\(=(p^2-2q)(p^3-3pq+3r)-p(q^2-2pr)+qr\)
\(=\color{blue}{p^5-5p^3q+5p^2r+5pq^2-5qr}\)

\(A_n=x^n+y^n+z^n\) とおくと
\(\color{blue}{A_n=pA_{n-1}-qA_{n-2}+rA_{n-3}}\)(*)

帰納法により全ての自然数nで\(P_n\)が基本対称式のみで表せることがいえます。

(*)と書けることの証明

\(x^n+y^n+z^n\)
\(=(x+y+z)(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})\)
\(\quad\quad -(yx^{n-1}+zx^{n-1}+xy^{n-1}+zy^{n-1}+xz^{n-1}+yz^{n-1})\)
\(=pA_{n-1}-xy\color{red}{(x^{n-2}+y^{n-2})}-yz\color{red}{(y^{n-2}+z^{n-2})}-zx\color{red}{(z^{n-2}+x^{n-2})}\)
\(=pA_{n-1}-xy\color{red}{(A_{n-2}-z^{n-2})}-yz\color{red}{(A_{n-2}-x^{n-2})}-zx\color{red}{(A_{n-2}-y^{n-2})}\)
\(=pA_{n-1}-(xy+yz+zx)A_{n-2}+xyz(z^{n-3}+x^{n-3}+y^{n-3})\)
\(=pA_{n-1}-qA_{n-2}+rA_{n-3}\)

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赤字部分で
\(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2}=A_{n-2}\) より
\(x^{n-2}+y^{n-2}=A_{n-2}-z^{n-2}\) となることを用いました。