対数の大小比較問題の解き方
対数の大小比較問題の例題と解き方を紹介します。
例題と解答
例題
を小さい順に並べよ。
方針
変形して底をそろえます。
この例題では底4が多いので, 4でそろえると計算量を少なくできます。
解答
\(=\dfrac{\log_{\,4}{5}}{\log_{\,4}{2}}\) (∵底の変換公式)
\(=\dfrac{\log_{\,4}{5}}{\log_{\,4}{4^{\frac{1}{2}}}}\)
\(=2\log_{\,4}{5}=\log_{\,4}{25}\)
次に,
\(\dfrac{1}{2}+\log_{\,4}{13}\)
\(=\log_{\,4}{4^{\frac{1}{2}}}+\log_{\,4}{13}\)
\(=\log_{\,4}{2}\,+\log_{\,4}{13}\)
\(=\log_{\,4}{26}\)
\(1<4\) (底が1より大きい)から,
\(\log_{\,4}{25}<\log_{\,4}{26}<\log_{\,4}{27}\)
したがって,
\(\color{red}{\log_{\,2}{5} < \dfrac{1}{2}+\log_{\,4}{13} < \log_{\,4}{27}}\)
対数の大小比較の解き方まとめ
そろえ方の例
1.底の変換公式で底をaからcに変える
\(\log_{\,a}b=\dfrac{\log_{\,c}{b}}{\log_{\,c}{b}}\)
2.対数でない数を, cを底とする対数に変える
\(A=\log_{\,c}{c^A}\)
・底と1の大小関係をチェック
\(\color{red}{0 < a < 1}\) のとき
\( \log_{\,a}{p} <\log_{\,a}{q}\,\Leftrightarrow \, p\color{red}{>}q\)
\(\color{red}{1 < a}\) のとき
\( \log_{\,a}{p} <\log_{\,a}{q}\,\Leftrightarrow \, p\color{red}{<}q\)