1+3+5+…+(2n-1)=n^2

$1+3+5\cdots+(2n-1)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^n(2k-1)$

$=2\cdot\dfrac{1}{2}n(n+1)-n$

$=n^2$

【別解】
初項1, 末項2n-1, 項数n の等差数列の和は
$\dfrac{1}{2}n(1+2n-1)$

$=n^2$

[1] $n=1$ のとき
$1=1^2$
[2] $n=k$ のとき
$1+3+5+\cdots(2k-1)=k^2\,\cdots(*)$
が成り立つと仮定すると,
$\underbrace{1+3+5+\cdots(2k-1)}_{=k^2\mbox{と仮定されている}}+(2(k+1)-1)$
$=k^2+2k+1=(k+1)^2$
であるから $n=k+1$ のときも $(*)$ が成り立つ。
[1], [2] より, 題意が示された。