1+3+5+…+(2n-1)=n^2
1,3,5…と続く奇数の数列の和が平方数になることを示します。
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\) を証明せよ。
証明1：数列の計算
\(1+3+5\cdots+(2n-1)\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n(2k-1)\)
\(=2\cdot\dfrac{1}{2}n(n+1)-n\)
\(=n^2\)
【別解】
初項1, 末項2n-1, 項数n の等差数列の和は
\(\dfrac{1}{2}n(1+2n-1)\)
\(=n^2\)
証明2：数学的帰納法
[1] \(n=1\) のとき
\(1=1^2\)
[2] \(n=k\) のとき
\(1+3+5+\cdots(2k-1)=k^2\,\cdots(*)\)
が成り立つと仮定すると,
\(\underbrace{1+3+5+\cdots(2k-1)}_{=k^2\mbox{と仮定されている}}+(2(k+1)-1)\)
\(=k^2+2k+1=(k+1)^2\)
であるから \(n=k+1\) のときも \((*)\) が成り立つ。
[1], [2] より, 題意が示された。
\(1=1^2\)
[2] \(n=k\) のとき
\(1+3+5+\cdots(2k-1)=k^2\,\cdots(*)\)
が成り立つと仮定すると,
\(\underbrace{1+3+5+\cdots(2k-1)}_{=k^2\mbox{と仮定されている}}+(2(k+1)-1)\)
\(=k^2+2k+1=(k+1)^2\)
であるから \(n=k+1\) のときも \((*)\) が成り立つ。
[1], [2] より, 題意が示された。