2つの整数の積が素数となる条件

2つの整数の積が素数となる条件について解説します。
また, この条件を利用して解く問題を紹介します。

\(x,y\) を整数, \(p\) を素数とする。
\(xy=p\) となるのは
\((x,\,y)=(\pm 1,\,\pm p),\,(\pm p,\,\pm 1)\) のときである。

例えば, \(xy=7\) となるのは,
\((x,y)=(1,7),\,(-1,-7),\,(7,1),\,(-7,-1)\) のときです。

素数 \(p\) の値が与えられていない場合は,
「\(xy\) の値が素数となるのは \(x=\pm 1\) または \(y=\pm 1\) のときに限られる」
ということを利用します。具体的には次の問題を参考にしてください。

例題:2次式が素数となる条件

問題

\(n^2-10n+16\) が素数となるような整数 \(n\) をすべて求めよ。

方針・解答
因数分解をして (整数)×(整数) の形にしてから, これが素数になる条件を考えます。

\(n^2-10n+16=(n-2)(n-8)\quad \cdots (*)\)
\((*)\) が素数となるのは \(n-2=\pm1\) または \(n-8=\pm 1\) のときに限られる。

\([1]\,\, n-2=1\) すなわち \(n=3\) のとき
\((*)=1\cdot (-5)=-5\) は素数ではない。

\([2]\,\, n-2=-1\) すなわち \(n=1\) のとき
\((*)=(-1)\cdot (-7)=7\) は素数である。

\([3]\,\, n-8=1\) すなわち \(n=9\) のとき
\((*)=7 \cdot 1=7\) は素数である。

\([4]\,\, n-8=-1\) すなわち \(n=7\) のとき
\((*)=5\cdot (-1)=-5\) は素数ではない。

\([1]\)～\([4]\) より, \(n^2 -10n +16\) が素数となるのは
\(\color{red}{n=1,9}\) のときである。