3次関数の極大値・極小値を次数を下げて求める問題
『x3−3x2+x+1 の極大値を求めよ』
といったような, 3次関数の極値を求める問題の解法を紹介します。
解が複雑なときは次数を下げる
関数 f(x) の極値を調べるとき, f′(x)=0 を解きます。
f′(x)=0 の解が x=α であれば, f(α) が極値です。
α が簡単な形であれば f(α) も簡単に求まります。
しかし,
α=◯+√◯◯
のように, α が分数もルートも含んだ複雑な形の場合, f(α) をそのまま計算するのは得策ではありません。
このような場合, f(x) を f′(x) で割った式を使うと計算が楽になります。
f(x) を f′(x) で割って次数下げ
3次関数 f(x) を f′(x) で割ったときの商をQ(x) , 余りをAx+B とおくと,
f(x)=f′(x)Q(x)+Ax+B
となります。(f′(x) は2次式で, 整式を2次式で割った余りは1次式 Ax+B で表せます。)
x=α が極値だとすると, f′(α)=0 なので, 上式に x=α を代入すると
f(α)
=f′(α)Q(α)+Aα+B
=Aα+B
になります。
つまり, 極値f(α) を求めたければ, Aα+B を計算すればよいです。
例題と解答
問題
f(x)=x3−3x2+x+1 の極大値を求めよ。
解答
f(x) を微分すると,
f′(x)=3x2−6x+1
f′(x)=0 を解くと,
x=3±√63
x3 の係数は正だから,f(x) のグラフは下図のようになる。
13x−130000000003x2−6x+10x3−3x2+0x+1x3−2x2+13x000_−x2+23x+1−x2+2x−13_−43x+43
f′(x)=3x2−6x+1
f′(x)=0 を解くと,
x=3±√63
x3 の係数は正だから,f(x) のグラフは下図のようになる。
よって α=3−√63 とおくと, 極大値は f(α)
f(x) をf′(x) で割ると,
したがって,
f(x)=f′(x)(13x−13)−43x+43
x=α を代入すると,
f(α)=f′(α)⏟=0(13α−13)−43α+43
=−43α+43
=−43(α−1)
=−43⋅(−√63)
=4√69