整数変数の関数の最大値を求める方法

整数を変数に持つ関数は,確率の計算問題などで登場します。(n回目に〇〇する確率をf(n)とおくと何回目に最も確率が大きくなるか,等)

このような関数の最大値・最小値を求めるときに、微分を使うことはあまりないです。
f(n)とf(n±1)の差や分数で考えるのが定石です。

問題

$f(n)=(n-1)(n-2)\left(\dfrac{4}{5}\right)^n$ が最大となる

$n$ を求めよ。 (

$n$ は

$3$ 以上の自然数)

方針
整数を変数に持つ関数の最大値,最小値を求めるには,

方法1:

$f(n+1)-f(n)$ の正負を調べる
方法2:

$\dfrac{f(n+1)}{f(n)}$ と 1 の大小関係を調べる

まず、方法1での解答です。

解答1

$f(n+1)-f(n)$

$=n(n-1)\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n+1}\,-\,(n-1)(n-2)\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}$

$=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}(n-1) \left\{ \dfrac{4}{5}n-(n-2)\right\}$

$=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}(n-1)\left( 2-\dfrac{1}{5}n \right)$

$n\geqq 3$ のとき $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}\geqq 0,\,n-1 \geqq 0$ だから

$f(n+1)-f(n)$ の符号は $2-\dfrac{1}{5}n$ の正負で決まる。

(i)　 $2-\dfrac{1}{5}n>0$ つまり $n < 10$ のとき

$f(n+1) >f(n)$

(ii)　 $2-\dfrac{1}{5}n=0$ つまり $n = 10$ のとき

$f(n+1) = f(n)$

(iii)　 $2-\dfrac{1}{5}n<0$ つまり $n > 10$ のとき

$f(n+1) <f(n)$

よって,
$f(3)<f(4)<\cdots <f(10)=f(11)>f(12)>f(13)>\cdots$

したがって $n=10,11$ のとき, $f(n)$ が最大になる。　（答）

次に,方法2での解答です。

解答2

$n\geqq 3$ のとき,

$\dfrac{f(n+1)}{f(n)}=\dfrac{n(n-1)\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n+1}}{(n-1)(n-2)\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}}=\dfrac{4n}{5(n-2)}$

(i)　 $\dfrac{4n}{5(n-2)}>1$ となるのは $n<10$ のとき

(ii)　 $\dfrac{4n}{5(n-2)}=1$ となるのは $n=10$ のとき

(ii)　 $\dfrac{4n}{5(n-2)}<1$ となるのは $n>10$ のとき

よって,　 $f(3)<f(4)<\cdots <f(10)=f(11)>f(12)>f(13)>\cdots$

したがって $n=10,11$ のとき, $f(n)$ が最大になる。　（答）