相加平均・相乗平均の関係：証明

証明

\((実数)^2 \geqq 0\) であるから
\((a-b)^2 \geqq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2 \geqq 2ab\)
\(a,b\) を \(\sqrt{a},\,\sqrt{b}\) で置き換えれば
\(a+b \geqq 2\sqrt{ab}\) が成り立つ。

別解
\(\left( \dfrac{a+b}{2} \right)^2 – (\sqrt{ab})^2\)
\(= \dfrac{a^2 + 2ab + b^2 -4ab}{4}\)
\(= \left(\dfrac{a-b}{2} \right)^2 \geqq 0 \)
よって
\( \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ \geqq (\sqrt{ab})^2\)

\(\dfrac{a+b}{2}\) と \(\sqrt{ab}\) はどちらも正なので
\(\dfrac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}\) が成り立つ。

証明

2文字の場合の不等式
\(\dfrac{a+b}{2} \geqq \sqrt{a b}\) に
\(a=\dfrac{a+b}{2},\quad b=\dfrac{c+d}{2}\)
を代入すると
\(\dfrac{a+b+c+d}{4}\)
\( \geqq \sqrt{\dfrac{a+b}{2}\dfrac{c+d}{2}}\)
\( \geqq \sqrt{\sqrt{ab} \sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd} \)

証明

4文字の場合の不等式
\(\dfrac{a+b+c+d}{4} \geqq \sqrt[4]{a b c d}\) に
\(d=\dfrac{a+b+c}{3}\) を代入すると
(左辺)\(=\dfrac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4}\)
\(\quad\quad\,\, =\dfrac{a+b+c}{3}\)

(右辺)\(=\sqrt[4]{abc\dfrac{a+b+c}{3}}\)

よって
\(\dfrac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[4]{abc\dfrac{a+b+c}{3}}\)
両辺を4乗すると
\(\left( \dfrac{a+b+c}{3}\right)^4 \geqq abc \left( \dfrac{a+b+c}{3} \right)\)
\(\therefore \left( \dfrac{a+b+c}{3}\right)^3 \geqq abc\)
\(\therefore \dfrac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}\)

別解

\(a^3+b^3+c^3 \geqq 3abc\) を示す。
\(a^3+b^3+c^3 -3abc\)
\(=(a+b)^3 – 3ab(a+b)+c^3 -3abc\)
\(=(a+b)^3+c^3 -3ab(a+b+c)\)
\(=(a+b+c)\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\}-3ab(a+b+c)\)
\(=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2- ac – bc + c^2 -3ab)\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(=(a+b+c)\frac{1}{2}\{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\}\)
\(\geqq 0 \quad\) (∵\(a,b,c\) は正の数, \(\,(実数)^2 \geqq 0\) )
よって
\(a^3+b^3+c^3 \geqq 3abc\) が示された。
\(a,b,c\) を \(\sqrt[3]{a},\,\sqrt[3]{b},\,\sqrt[3]{c}\) で置き換えれば
\(a+b+c \geqq 3\sqrt[3]{abc}\) が成り立つ。

証明

\(n=2\)のとき相加平均・相乗平均の関係が成り立つ。（上記参照）
\(n=k\)のとき相加平均・相乗平均の関係が成り立つと仮定する。
\(A_k=\dfrac{a_1+a_2+\cdots a_k}{k}\)
\(B_k=\dfrac{a_{k+1}+a_{k+2}\cdots a_{2k}}{k}\)
\(C_k=\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\)
\(D_k=\sqrt[k]{a_{k+1}a_{k+2}\cdots a_{2k}}\)
とおくと,仮定より
\(A_k \geqq C_k\), \(B_k \geqq D_k\)
よって
\(\dfrac{A_k+B_k}{2} \geqq \sqrt{A_k B_k} \geqq \sqrt{C_k D_k}\)
したがって
\(\dfrac{a_1+a_2+\cdots a_{2k}}{2k} \geqq \sqrt[2k]{a_1 a_2 \cdots a_{2k}}\)
となり,　\(n=2k\) のときにも成り立つ。

\(\therefore n=2^m (m=1,2,\cdots)\) のとき相加平均・相乗平均の関係が成り立つ。

また,
\(a_k=\dfrac{a_1+a_2+\cdots a_{k-1}}{k-1}(=A_{k-1})\) とおくと,
\(A_k=\dfrac{a_1+a_2+\cdots a_{k-1}}{k}+\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_{k-1}}{k(k-1)}\)
\(\,\,\,\quad=A_{k-1}\)
\(C_k=\sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_{k-1}A_{k-1}}\)
仮定より\(A_k \geqq C_k\)であり
\(A_{k-1} \geqq \sqrt[k]{a_1 a_2\cdots a_{k-1}A_{k-1}} \)
両辺を \(k\) 乗して
\((A_{k-1})^k \geqq a_1 a_2 \cdots a_{k-1}A_{k-1}\)
\( \therefore (A_{k-1})^{k-1} \geqq a_1 a_2 \cdots a_{k-1}\)
\( \therefore A_{k-1} \geqq \sqrt[k-1]{a_1 a_2\cdots a_{k-1}}\)
したがって\(n=k-1\) のとき相加平均・相乗平均の関係が成り立つ。
以上から,任意の自然数　\(n\) に対して相加平均・相乗平均の関係が成り立つ。