相反方程式の解き方

関数・方程式と不等式


相反方程式とは

\(n\) 次方程式において, 係数が左右対称になっているものを相反方程式といいます。

相反方程式の例
例: \(x^4+3x^3+2x^2+3x+1=0\)
係数の並びは 1,3,2,3,1 であり左右対称なので相反方程式です。

例: \(x^5+4x^4+5x^3+5x^2+4x+1=0\)
係数の並びは 1,4,5,5,4,1 であり左右対称なので相反方程式です。

相反方程式ではない例
例: \(3x^4+5x^2+5x+3=0\)
一見すると係数の並びは 3,5,5,3 で左右対称になっていますが,この式には \(x^3\) の項がありません。
\(x^3\) の係数が0であることをあらわに書くと
\(3x^4+\color{blue}{0x^3} +5x^2+5x+3=0\)
となり, 係数の並びは3,0,5,5,3 であり左右対称になっていません。よってこの式は相反方程式ではありません。

相反方程式を解く際のポイント

4次の相反方程式

次のような手順で4次の相反方程式の解を求めます。

STEP1
与式を \(x^2\) で割る。
\(x=0\) が解でないことを確認しておく(0で割ってはいけないため)。
STEP2
\(x+\dfrac{1}{x}=t\) とおく。
STEP1で求めた式は \(t\) についての2次方程式で表せる。2次方程式の解は解の公式などから容易に求められる。
STEP3
STEP2で求めた \(t\) を\(x+\dfrac{1}{x}=t\) に代入する。
分母を払うと\(x^2-tx+1=0\) となる。これは\(x\) についての2次方程式であり, 解を容易に求められる。

このように2次方程式の形に帰着させることがポイントです。

5次の相反方程式

5次の相反方程式は必ず \(x=-1\) を解にもつ。
よって因数定理より \((x+1)\cdot g(x)=0\) と因数分解できる。
\(g(x)=0\) は4次の相反方程式になっている。

5次の相反方程式は \(-1\) を解にもち, \(-1\) 以外の解は4次の相反方程式を解いて求めます。
5次に限らず, 奇数次の相反方程式は必ず \(-1\) を解にもちます。
上の事項が5次の相反方程式で一般に成り立つことは次のように確認できます。

\(f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+cx^2+bx+a=0\)
この式に \(x=-1\) を代入すると
\(f(-1)=-a+b-c+c-b+a=0\)
よって \(f(x)=0\) は \(x=-1\) を解にもつ。
また
\(f(x)=(x+1)\underbrace{\{ax^4+(-a+b)x^3+(a-b+c)x^2+(-a+b)x+a\}}_{\textbf{係数が左右対称}}\)
と因数分解できる。

例題:4次の相反方程式

問題

\(x^4+3x^3+2x^2+3x+1=0\) の解を求めよ。

解答

\(x=0\) は解ではないから, 与式の両辺を \(x^2\) で割って
\(x^2+3x+2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0 \\
\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+2=0 \,\cdots(*)\)
\(t=x+\dfrac{1}{x}\) とおくと
\(x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=t^2-2\) であるから
\((*)\Leftrightarrow t^2-2+3t+2=t^2+3t=0\)
\(\phantom{(*)}\Leftrightarrow t=0,-3\)
\(t=0\) のとき
\(x+\dfrac{1}{x}=0\)
分母を払うと
\(x^2+1=0\)
\( \therefore x=\pm i\)  (\(i\) は虚数単位)
\(t=-3\) のとき
\(x+\dfrac{1}{x}=-3\)
分母を払うと
\(x^2+3x+1=0\)
\( \therefore x=\dfrac{-3\pm \sqrt{5}}{2}\)
以上から解は \(\color{red}{x=\pm i, \, \dfrac{-3\pm \sqrt{5}}{2}}\)

例題:5次の相反方程式

問題

\(x^5+4x^4+5x^3+5x^2+4x+1=0\) の解を求めよ。

解答

与式は \(x=-1\) を解にもつことから
\(\phantom{\Leftrightarrow}x^5+4x^4+5x^3+5x^2+4x+1=0\)
\(\Leftrightarrow(x+1)(x^4+3x^3+2x^2+3x+1)=0\)
よって, 解は \(\color{red}{x=-1,\,\pm i, \, \dfrac{-3\pm \sqrt{5}}{2}}\)

4次式の部分は先述の例題と同じ形をしているので,先述の例題を参照してください。