x→-∞のときの極限の計算方法

極限


x→−∞ のときの極限

\(x\rightarrow -\infty\) のときの極限を計算するときは, \(t=-x\) とおきかえて \(t \rightarrow \infty\) のときの極限を考える。
ただし, 符号ミスに注意して, おきかえを使わずに計算してもよい。

なぜおきかえるのか
\(x\rightarrow -\infty\) のときの極限の計算問題はルートが混じった形で出題されることが多く, ルートの部分で符号を間違えやすいです。おきかえを使って正の無限大を考えることで符号ミスを減らせます。

おきかえを使わずに負の無限大のまま計算をするときは, 次のことに注意してルートを処理してください。

・ \(x\rightarrow -\infty\) のとき, \(x<0\) と考えてよい

・ \(x<0\) のとき, \(\displaystyle x=-\sqrt{x^2}\)

例題

問題

次の極限を求めよ。
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\sqrt{\mathstrut 4x^2+x}+2x\)

方針
∞-∞ の不定形になっています。分母が1の分数と考えて, 分子を有理化することで不定形を解消します。
解答

\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\sqrt{\mathstrut 4x^2+x}+2x \\
=\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}\sqrt{\mathstrut 4t^2-t}-2t\quad (t=-x\,\textbf{とおく})\\
=\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}\dfrac{(\sqrt{\mathstrut 4t^2-t}-2t)(\sqrt{\mathstrut 4t^2-t}+2t)}{\sqrt{\mathstrut 4t^2-t}+2t} \quad(\textbf{分子を有理化する})\\
=\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}\dfrac{4t^2-t-4t^2}{\sqrt{\mathstrut 4t^2-t}+2t}\\
=\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}\dfrac{-t}{\sqrt{\mathstrut 4t^2-t}+2t}\\
=\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}\dfrac{-1}{\sqrt{\mathstrut \dfrac{4t^2-t}{t^2}}+2}\quad(\textbf{分母, 分子を}\,t\,\textbf{で割る})\\
=\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}\dfrac{-1}{\sqrt{\mathstrut 4-\dfrac{1}{t}}+2}\\
=\dfrac{-1}{\sqrt{4}+2}=\color{red}{-\dfrac{1}{4}}\)

別解:おきかえを使わずに計算

\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\sqrt{\mathstrut 4x^2+x}+2x \\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{(\sqrt{\mathstrut 4x^2+x}+2x)(\sqrt{\mathstrut 4x^2+x}-2x)}{\sqrt{\mathstrut 4x^2+x}-2x} \quad(\textbf{分子を有理化する})\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x}{\sqrt{\mathstrut 4x^2+x}-2x }\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{1}{-\sqrt{\mathstrut \dfrac{4x^2+x}{x^2}}-2}\quad (\textbf{*分母, 分子を}\,x\, \textbf{で割る})\\
=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{1}{-\sqrt{4+\dfrac{1}{x}}-2}\\
=\dfrac{1}{-\sqrt{4}-2}=\color{red}{-\dfrac{1}{4}}\)


【*補足】ルートの部分を \(x\) で割るときの詳細

\(x<0\) のとき

\(\phantom{=}\dfrac{\sqrt{\mathstrut 4x^2+x}}{\color{blue}{x}}\\
=\dfrac{\sqrt{\mathstrut 4x^2+x}}{\color{blue}{-\sqrt{x^2}}} \\
=-\sqrt{\dfrac{4x^2+x}{x^2}}\\
=-\sqrt{4+\dfrac{1}{x}}\
\stackrel{x\rightarrow -\infty}{\longrightarrow}-\sqrt{4}=\color{red}{-2}\)

となります。\(x\) で割るとき, \(\displaystyle x=-\sqrt{x^2} \) であることに注意して計算してください。