三乗根を簡単な形にする問題

\(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=a+b\sqrt{2}\)とおく.（\(a,b\) は有理数,\(a\neq 0,b\neq 0\))

両辺を3乗すると

\(7+5\sqrt{2}=a^3+3a^2b\sqrt{2}+3ab^2\cdot 2 +b^3\cdot2\sqrt{2}\)

\(=(a^3+6ab^2)+(3a^2b+2b^3)\sqrt{2}\)

係数を比較して

\(7=a^3+6ab^2\quad (*)\)

\(5=3a^2b+2b^3\quad \)

辺々を割って

\(\dfrac{7}{5}=\dfrac{a^3+6ab^2}{3a^2b+2b^3}\)

分母、分子を\(b^3\)で割って\(\dfrac{a}{b}=x\)とおくと

\(\dfrac{7}{5}=\dfrac{\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{6a}{b}}{\dfrac{3a^2}{b^2}+2}=\dfrac{x^3+6x}{3x^2+2}\)

整理すると

\(5x^3-21x^2+30x-14=0\)

\(x=1\)を解にもつので

\((x-1)(5x^2-16x+14)=0\) と因数分解できる。

\(5x^2-16x+14\neq 0\) (\(\because\) 判別式 \(\dfrac{D}{4}=8^2-5\cdot 14 < 0\) )より

\(x=1=\dfrac{a}{b}\)

\(a=b\) を\((*)\)に代入すると \(7=7a^3\)
\(\therefore a=1,b=1\)

従って \(a+b\sqrt 2=\color{red}{1+\sqrt 2}\)　(答)