【数列】特性方程式の利用

数列


定数係数の隣接2項間, 隣接3項間の漸化式では、特性方程式を解くことで一般項を求めることができます。


隣接2項間の漸化式

隣接2項間の漸化式

\(a_{n+1}=pa_{n}+q\quad\cdots (1)\) で
\(a_{n+1}=x,\,a_n=x\)とおいた式
\(x=px+q\) を特性方程式という。

特性方程式の解を \(\alpha\) とする。
(1)から \(\alpha=p\alpha+q\) を辺々引くと
\(a_{n+1} – \alpha =p(a_n – \alpha)\quad\cdots(2)\) が得られる。
\(a_n-\alpha\) は初項 \(a_1-\alpha\), 公比\(p\) の等比数列である。

補足:なぜ特性方程式を解くのか
(2)を変形すると
\(a_{n+1}=pa_n-p\alpha +\alpha\) となります。
これが(1)と同じであるためには
\(-p\alpha +\alpha=q \Leftrightarrow \alpha=p\alpha +q\)
を満たす必要があります。この \(\alpha\) を求めることは
\(x=px+q\) の解を求めることに対応します。

例題

数列\(\{a_n\}\)が
\(a_1=1,\,a_{n+1}=3 a_n + 4\quad(n=1,2,3,\cdots)\)
を満たすとき,一般項を求めよ。

解答

特性方程式 \(x=3x+4\) の解は \(x=-2\)
\(\therefore a_{n+1}+2=3(a_n+2)\)
数列\(\{a_n+2\}\) は初項 \(a_1+2=3,\) 公比 \(3\) の等比数列であるから
\(a_n+2=3\cdot3^{n-1}\)
よって\(\color{red}{a_n=3^n-2}\)

隣接3項間の漸化式

隣接3項間の漸化式

\(a_{n+2}+p a_{n+1} +qa_n=0\quad \cdots(3)\) で
\(a_{n+2}=x^2,\,a_{n+1}=x,\,a_n=1\) とおいた式
\(x^2+px+q=0\) を特性方程式という。

特性方程式の解を \(\alpha,\,\beta\) とすると
\(a_{n+2}-\alpha a_{n+1} =\beta (a_{n+1}-\alpha a_{n})\quad\cdots(4.1)\)
\(a_{n+2}-\beta a_{n+1}= \alpha (a_{n+1}-\beta a_{n})\quad\cdots(4.2)\)
が得られる。

補足:なぜ特性方程式を解くのか
(4.1)または(4.2)のどちらも, 変形したら
\(a_{n+2}-(\alpha + \beta)a_{n+1}+ \alpha\beta a_n=0\)
となります。この式が(3)と等しいためには
\(p=-(\alpha + \beta),\,q=\alpha\beta\) であればよいです。
これを満たす \(\alpha,\beta\) を求めることは
\(x^2 +px +q =0\) の解を求めることに対応します。(解と係数の関係)

例題

数列 \(\{a_n\}\) が
\(a_1=2,\,a_2=1,\,a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n\)
を満たすとき,一般項を求めよ。

解答

\(x^2-x-2=0\)
の解は \(x=-1,2\)
よって
\(a_{n+2}+a_{n+1}=2(a_{n+1}+a_n)\quad\cdots(a)\)
\(a_{n+2}-2a_{n+1}=-(a_{n+1}-2a_n)\quad\cdots(b)\)
と変形できる。
\((a)\) より数列 \(\{a_{n+1}+a_n\}\) は初項 \(a_2+a_1=3,\,\)公比 \(2\) の等比数列だから
\(a_{n+1}+a_n=3\cdot 2^{n-1}\quad\cdots(a^{\prime})\)
\((b)\) より数列 \(\{a_{n+1}-2 a_n\}\) は初項 \(a_2-2a_1=-3,\,\)公比 \(-1\) の等比数列だから
\(a_{n+1}-2a_n=-3\cdot (-1)^{n-1}\quad\cdots(b^{\prime})\)
\((a^{\prime})-(b^{\prime})\) より
\(3a_n=3\cdot2^{n-1}+3\cdot(-1)^{n-1}\)
\(\color{red}{a_n=2^{n-1}+(-1)^{n-1}}\)