等差数列×等比数列の和を計算する方法

数列


『Σ(等差数列)×(等比数列)』という形をした和の計算方法を紹介します。

(等差数列)×(等比数列)の和の計算

和を \(S\), 等比数列の公比を \(r\) とすると,

\(S-rS\) を計算すればよい。

例題

次の和\(S\)を求めよ。
\(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\,(2k-1)\cdot 2^k\)

方針
\(2k-1\)が等差数列, \(2^k\) が等比数列にそれぞれ対応して, (等差数列)×(等比数列)の形になっています。
等比数列の公比が \(2\) なので \(S-2S\) を考えます。
解答

\(\phantom{2}S=1\cdot 2+3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+ \cdots +(2n-1)2^n \)
\(2S=\phantom{1\cdot 2+\:}1\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +(2n-3)2^n+(2n-1)\cdot 2^{n+1}\)
辺々引くと,
\(S-2S=2+\underbrace{2\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +2\cdot 2^n}_{\textbf{初項}2^3\,\textbf{公比}2\,\textbf{項数}n-1 \\ \textbf{の等比数列の和}}-(2n-1)\cdot 2^{n+1}\)
よって,
\(-S=2+\dfrac{2^3(2^{n-1}-1)}{2-1}-(2n-1)\cdot 2^{n+1}\\
\phantom{-S}=2+2^{n+2}-8-(2n-1)\cdot 2^{n+1} \\
\phantom{-S}=\{2-(2n-1)\}\cdot 2^{n+1}+2-8\\
\phantom{-S}=(3-2n)\cdot 2^{n+1}-6\)
したがって,
\(\color{red}{S=(2n-3)\cdot 2^{n+1}+6}\)

\(S-rS\) を計算すると, ほとんどの項が等比数列の和として計算できるようになります。ただし, 等比数列になっていない部分(主に最初の項と最後の項)も出てくるので, それを計算し忘れるミスに気を付けてください。
等比数列の和は次の公式を使って求めます。

等比数列の和の公式
初項\(a\), 公比\(r\),項数\(n\)の等比数列の和を\(S\)とすると,
\(r\neq 1\) のとき \(S=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\)
\(r=1\) のとき \(S=na\)