等差中項・等比中項の基本知識と定番問題
等差中項・等比中項の基本事項
等差中項・等比中項の関係式
\(\)
数列 \(a, b, c\) が等差数列のとき
\(\boldsymbol{\color{blue}{2b=a+c}}\)
\(b\)を等差中項という
\(\)
数列 \(a, b, c\) が等比数列のとき
\(\boldsymbol{\color{blue}{b^2=ac}}\)
\(b\)を等比中項という
\(\)
数列 \(a, b, c\) が等差数列のとき
\(\boldsymbol{\color{blue}{2b=a+c}}\)
\(b\)を等差中項という
\(\)
数列 \(a, b, c\) が等比数列のとき
\(\boldsymbol{\color{blue}{b^2=ac}}\)
\(b\)を等比中項という
解説
\(a,b,c\) が等差数列のとき
\(b-a=c-b\,\,(=\textbf{公差})\)
\(\Leftrightarrow 2b=a+c\)
\(b-a=c-b\,\,(=\textbf{公差})\)
\(\Leftrightarrow 2b=a+c\)
\(a,b,c\) が等比数列のとき
\(\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}\,\,(=\textbf{公比})\)
\(\Leftrightarrow b^2=ac\)
定番の問題
『〇,〇,〇がこの順で等差数列となり ×,×,×がこの順で等比数列となるとき～』というタイプの問題では, ほぼ確実に等差中項・等比中項の関係式を使います。
問題
\(2, a, b\) がこの順で等差数列となり, \(a, b, 9\) がこの順で等比数列となる。このとき \(a, b\) の値を求めよ。
解答
\(2, a, b\) が等差数列となることから,
\(2a=2+b\)
\(\Leftrightarrow b=2a-2 \quad\cdots\,\unicode{x2460}\)
\(a, b, 9\) が等比数列となることから,
\(b^2=9a\quad\cdots\,\unicode{x2461}\)
\(\unicode{x2461}\) に \(\unicode{x2460}\) を代入すると,
\(4a^2-17a+4=0\)
\((a-4)(4a-1)=0\)
よって \(a=4,\,\dfrac{1}{4}\)
\(a=4\) のとき \(b=2\cdot 4 -2=6\)
\(a=\dfrac{1}{4}\) のとき \(b=2\cdot \dfrac{1}{4} -2=-\dfrac{3}{2}\)
したがって \(\color{red}{(a, b)=(4,6),\,(\dfrac{1}{4},\,-\dfrac{3}{2})}\)
\(2a=2+b\)
\(\Leftrightarrow b=2a-2 \quad\cdots\,\unicode{x2460}\)
\(a, b, 9\) が等比数列となることから,
\(b^2=9a\quad\cdots\,\unicode{x2461}\)
\(\unicode{x2461}\) に \(\unicode{x2460}\) を代入すると,
\(4a^2-17a+4=0\)
\((a-4)(4a-1)=0\)
よって \(a=4,\,\dfrac{1}{4}\)
\(a=4\) のとき \(b=2\cdot 4 -2=6\)
\(a=\dfrac{1}{4}\) のとき \(b=2\cdot \dfrac{1}{4} -2=-\dfrac{3}{2}\)
したがって \(\color{red}{(a, b)=(4,6),\,(\dfrac{1}{4},\,-\dfrac{3}{2})}\)