x+y+z=xyz の自然数解
x+y+z=xyz をみたす自然数x,y,zの求め方を解説します。
問題
\(x+y+z=xyz\) をみたす自然数(\(x,y,z\)) を求めよ。
方針
大小関係を自分で設定して不等式を作り, 範囲を絞る
後に, 自分で設定した大小関係を外す
解答
\(x\leqq y \leqq z\) とおくと,
\(xyz=x+y+z\leqq 3z\)
両辺を \(z\) で割ると,
\(xy\leqq 3\)
よって,
\(\left( x,y\right)=(1,1),\,(1,2),\,(1,3)\)
\(xyz=x+y+z\leqq 3z\)
両辺を \(z\) で割ると,
\(xy\leqq 3\)
よって,
\(\left( x,y\right)=(1,1),\,(1,2),\,(1,3)\)
\(\left( x,y\right)=(1,1)\) のとき
\(x+y+z=xyz\) は
\(1+1+z=z\) となり,
これを満たす自然数\(z\) は存在しない。
\((x,y)=(1,2)\) のとき
\(1+2+z=2z\)
\(z=3\)
\((x,y)=(1,3)\) のとき
\(1+3+z=3z\)
\(z=2\)
これは\(x\leqq y \leqq z\) に反する。
\(\therefore (x,y,z)=(1,2,3)\)
\(x\leqq y \leqq z\) の大小関係を外すと,
\(x,y,z\)の値を並べ替えても与式が成り立つ。
したがって,
\((x,y,z)\)
\(=\color{red}{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}\)