二項係数の公式

異なる \(n\) 個のものから \(k\) 個を選ぶ方法の総数を \({}_n{\rm{C}}_k\) で表します。
\({}_n{\rm{C}}_k\) を二項係数といいます。

\({}_n{\rm{C}}_k=\dfrac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\)

分母、分子に\(\color{blue}{(n-k)!}\) をかけると

\({}_n{\rm{C}}_k=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)\times\color{blue}{(n-k)!}}{k!\times\color{blue}{(n-k)!}}\)
\(\quad\quad=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)

特に, \({}_n{\rm{C}}_0={}_n{\rm{C}}_n=1\) です。

(1)で \(k\) を \(n-k\) におきかえると
\({}_n{\rm{C}}_{n-k}=\dfrac{n!}{(n-k)!\,\{n-(n-k)\}!}\)
\(\quad\quad\quad =\dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}\)
\(\quad\quad\quad ={}_n{\rm{C}}_k\)

例：\({}_5{\rm{C}}_4={}_5{\rm{C}}_{5-4}={}_5{\rm{C}}_1=5\)

\(\dfrac{n}{k}\cdot{}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)
\(=\dfrac{n\cdot(n-1)!}{k\cdot(k-1)!\,\{(n-1)-(k-1)\}!}\)
\(=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}={}_n{\rm{C}}_k\)

\(\therefore\, k\cdot {}_n{\rm{C}}_k=n\cdot {}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)

\({}_{n-1}{\rm{C}}_k+{}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)

\(=\dfrac{(n-1)!}{k!\,(n-k-1)!}+\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,\{(n-1)-(k-1)\}!}\)

\(=\dfrac{(n-1)!}{k!\,(n-k-1)!}+\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}\)

\(=\dfrac{(n-1)!\,(n-k)}{k!\,(n-k)!}+\dfrac{(n-1)!\,k}{k!\,(n-k)!}\)

\(=\dfrac{(n-1)!\,(n-k+k)}{k!\,(n-k)!}\)

\(=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)

\(={}_n{\rm{C}}_k\)

\(\therefore\, {}_n{\rm{C}}_k={}_{n-1}{\rm{C}}_k+{}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)