くじ引きの確率

場合の数と確率


くじ引きで当たりを引く確率を求める問題を紹介します。
くじ引きが当たる確率は引く順番によって変わらないことを知っていると計算不要で解けます。


問題

10本のくじの中に3本の当たりくじがある。このくじをA,B,Cの3人がこの順番で引く。引いたくじは元に戻さない。
(1) Aが当たりくじを引く確率を求めよ。
(2) Bが当たりくじを引く確率を求めよ。
(3) Cが当たりくじを引く確率を求めよ。

くじが当たる確率は引く順番によらないので答えは全て \(\dfrac{3}{10}\) になります。
以下では場合分けして計算を行い、確率が同じであることを見ます。
確率の問題で場合分けするとき、安易に約分しないほうがいいです。後で足すときに分母が統一されている方が計算が楽だからです。

(1) \(\dfrac{3}{10}\)


(2)
Aが当たり、Bも当たる確率は
\(\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{90}\)
Aがはずれて、Bが当たる確率は
\(\dfrac{7}{10}\cdot \dfrac{3}{9}=\dfrac{21}{90}\)
よって答えは
\(\dfrac{6}{90}+\dfrac{21}{90}=\dfrac{27}{90}=\color{red}{\dfrac{3}{10}}\)


(3)
A,B,Cが当たりを引くことを(当,当,当)のように書く。
(当,当,当)の確率は
\(\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{6}{720}\)
(当,外,当)の確率は
\(\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{7}{9}\cdot\dfrac{2}{8}=\dfrac{42}{720}\)
(外,当,当)の確率は
\(\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{3}{9}\cdot\dfrac{2}{8}=\dfrac{42}{720}\)
(外,外,当)の確率は
\(\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{6}{9}\cdot\dfrac{3}{8}=\dfrac{126}{720}\)
よって答えは
\(\dfrac{6+42+42+126}{720}=\color{red}{\dfrac{3}{10}}\)


補足

くじ引きに参加するのが10人以下なら、何人目であっても当たる確率は\(\dfrac{3}{10}\)です。

平等なくじ引きなのに後の人ほど不利に感じるのは、先に引いた人が当てた場合を考えてしまうからではないでしょうか。
1人目が当たりを引いたことが分かっている場合、2人目が当てる確率は \(\dfrac{2}{9}\fallingdotseq 22\)%となるため、30%より低くなります。しかしこれは「1人目が当てたときに2人目も当たる確率」という条件付き確率です。
最初の3人が全員当たりを引いた場合、4人目が当てる条件付き確率は0%になります。
「先に当てた人が多いほど後の人が当たる条件付きの確率が下がり、場合によっては当たる可能性がゼロになってしまう」ことから、後に引く人が不利に感じやすくなります。