eの定義を使う極限計算 例題
自然対数の底 e の定義と, それを使って解く極限の計算問題を紹介します。
\(e\) の定義
\(\,\,\displaystyle \lim_{x\to 0} \,(1+x)^{\tfrac{1}{x}}=e\)
\(\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\,\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e\)
eをネイピア数とも呼びます。値は \(e=2.718\cdots\) で, 無理数です。
eの定義を使う極限計算の例
例題1
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(1+2x\right)^\tfrac{1}{4x}\) を求めよ。
解答
\(t=2x\) とおくと,
\(x\rightarrow 0\) のとき, \(t\rightarrow 0\)
\(\dfrac{1}{4x}=\dfrac{1}{2t}\)
\(x\rightarrow 0\) のとき, \(t\rightarrow 0\)
\(\dfrac{1}{4x}=\dfrac{1}{2t}\)
よって,
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(1+2x\right)^\tfrac{1}{4x}\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\left(1+t\right)^\tfrac{1}{2t}\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\left\{\left(1+t\right)^\tfrac{1}{t}\right\}^{\tfrac{1}{2}}\\
=e^\tfrac{1}{2}=\color{red}{\sqrt{e}}\)
例題2
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^x\) を求めよ。
解答
\(t=-x\) とおくと, \(x\rightarrow \infty\) のとき, \(t\rightarrow -\infty\)
よって,
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^x\\
=\displaystyle\lim_{t \to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{-t}\\
=\displaystyle\lim_{t \to -\infty}\left\{\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}\right\}^{-1} \\
=e^{-1}=\color{red}{\dfrac{1}{e}}\)
よって,
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^x\\
=\displaystyle\lim_{t \to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{-t}\\
=\displaystyle\lim_{t \to -\infty}\left\{\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}\right\}^{-1} \\
=e^{-1}=\color{red}{\dfrac{1}{e}}\)
例題3
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} x\,\log \left( \dfrac{x+1}{x} \right)\) を求めよ。
解答
\(\phantom{=}\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\,\log\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\\
=\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\,\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\\
=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\\
= \log e =\color{red}{1}\)
=\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\,\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\\
=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\\
= \log e =\color{red}{1}\)