二項係数の公式
\((1)\quad{}_n{\rm{C}}_k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
\((2)\quad{}_n{\rm{C}}_{n-k}={}_n{\rm{C}}_k\)
\((3)\quad k\cdot {}_n{\rm{C}}_k=n\cdot {}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)
\((4)\quad{}_n{\rm{C}}_k={}_{n-1}{\rm{C}}_k+{}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)
関連：二項係数がらみの和の計算については二項係数の和の計算 典型問題 をご覧ください。
(1)について
\({}_n{\rm{C}}_k\) を二項係数といいます。
\({}_n{\rm{C}}_k=\dfrac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\)
分母、分子に\(\color{blue}{(n-k)!}\) をかけると
\({}_n{\rm{C}}_k=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)\times\color{blue}{(n-k)!}}{k!\times\color{blue}{(n-k)!}}\)
\(\quad\quad=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
特に, \({}_n{\rm{C}}_0={}_n{\rm{C}}_n=1\) です。
(2)の証明
(1)で \(k\) を \(n-k\) におきかえると
\({}_n{\rm{C}}_{n-k}=\dfrac{n!}{(n-k)!\,\{n-(n-k)\}!}\)
\(\quad\quad\quad =\dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}\)
\(\quad\quad\quad ={}_n{\rm{C}}_k\)
例：\({}_5{\rm{C}}_4={}_5{\rm{C}}_{5-4}={}_5{\rm{C}}_1=5\)
場合の数としての解釈
\(n\) 人から \(k\) 人を選ぶのは、\(n\) 人から\(n-k\) 人を選ばないと決めることと同じ
(3)の証明
\(\dfrac{n}{k}\cdot{}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)
\(=\dfrac{n\cdot(n-1)!}{k\cdot(k-1)!\,\{(n-1)-(k-1)\}!}\)
\(=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}={}_n{\rm{C}}_k\)
\(\therefore\, k\cdot {}_n{\rm{C}}_k=n\cdot {}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)
場合の数としての解釈
\(n\) 人から\(k\) 人のグループを作り、グループのリーダーを1人決める場合を考えます。
(a) \(n\) 人の中から \(k\) 人を選び、その中からリーダーを1人選ぶ場合の数は
\(k\cdot{}_n{\rm{C}}_k\)
(b) 先にリーダーを1人選び、残りの\(n-1\) 人から\(k-1\) 人を選ぶ場合の数は
\(n\cdot{}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)
(a) と(b) は同じなので, \(k\cdot {}_n{\rm{C}}_k=n\cdot {}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\) が成立します。
(4)の証明
\(=\dfrac{(n-1)!}{k!\,(n-k-1)!}+\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,\{(n-1)-(k-1)\}!}\)
\(=\dfrac{(n-1)!}{k!\,(n-k-1)!}+\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}\)
\(=\dfrac{(n-1)!\,(n-k)}{k!\,(n-k)!}+\dfrac{(n-1)!\,k}{k!\,(n-k)!}\)
\(=\dfrac{(n-1)!\,(n-k+k)}{k!\,(n-k)!}\)
\(=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
\(={}_n{\rm{C}}_k\)
\(\therefore\, {}_n{\rm{C}}_k={}_{n-1}{\rm{C}}_k+{}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\)
場合の数としての解釈
\(n\) 人から \(k\) 人を選ぶ方法を考えます。ここで, \(n\) 人のうち特定の1人（名前をAとする）に注目して場合分けすると次のようになります。
(a) Aを選ぶとき
残りの \(n-1\) 人から \(k-1\) 人の選び方は
\({}_{n-1}{\rm{C}}_{k-1}\) 通り
(b) Aを選ばないとき
残りの \(n-1\) 人から \(k\) 人の選び方は
\({}_{n-1}{\rm{C}}_k\) 通り
よって, \({}_n{\rm{C}}_k\) は (a) と (b) の和になります。