1/sinx, 1/cosx, 1/tanxの不定積分
1/sinx, 1/cosx, 1/tanx の不定積分の公式と導出方法を解説します。
公式
\(\displaystyle (1) \int \dfrac{1}{\sin x}\,dx =\dfrac{1}{2}\, \log \dfrac{1-\cos x}{1+\cos x} +C \)
\(\displaystyle (2) \int \dfrac{1}{\cos x}\,dx =\dfrac{1}{2}\,\log \dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} +C\)
\(\displaystyle (3) \int \dfrac{1}{\tan x}\,dx =\log |\sin x|+C\)
(\(C\) は積分定数)
導出のコツ
・三角関数の置換積分の定石
\(\int \,(\cos x \textbf{だけの式})\cdot\sin x\, dx \) は \(\cos x =t\) と置換する。
\(\int \,(\sin x \textbf{だけの式})\cdot\cos x\, dx \) は \(\sin x =t\) と置換する。
これらを利用して三角関数の逆数の積分を求めます。
1/sinx の不定積分
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\sin x}\,dx\)
\(\displaystyle =\int \dfrac{\sin x}{{\sin}^2 x}\,dx=\int\dfrac{\sin x}{1-{\cos}^2 x}\,dx\)
\(t=\cos x\)とおくと, \(dt=-\sin x\,dx\) よって,
\(\displaystyle \int\dfrac{\sin x}{1-{\cos}^2 x}\,dx\)
\(\displaystyle =\int \dfrac{1}{t^2-1}\,dt \)
\(\displaystyle =\dfrac{1}{2} \int \left( \dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1} \right) \,dt \)
\( =\dfrac{1}{2} \log |t-1|- \log|t+1| +C \) (\(C\)は積分定数)
\( =\dfrac{1}{2} \log \left|\dfrac{t-1}{t+1}\right| +C \)
\( =\dfrac{1}{2} \log \left|\dfrac{\cos x-1}{\cos x+1}\right| +C \)
\( =\dfrac{1}{2} \log \left|\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right| +C \)
\( =\dfrac{1}{2} \log \dfrac{1-\cos x}{1+\cos x} +C \) (答)
補足
はじめに分母,分子に\(\sin x\)を掛けました。
部分分数分解を用いました。
絶対値の性質 \(|a|=|-a|\) を使い、絶対値の中身に-1を掛けました。
\(1-\cos x\geqq 0,\,1+\cos x \geqq 0\) のため、絶対値を外せます。
1/cosx の不定積分
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos x}\,dx\)
\(\displaystyle =\int\dfrac{\cos x}{1-{\sin}^2 x}\,dx\)
\(t=\sin x\)とおくと, \(dt=\cos x\,dx\) よって,
\(\displaystyle \int\dfrac{\cos x}{1-{\sin}^2 x}\,dx\)
\(\displaystyle =\int\dfrac{1}{1-t^2 }\,dt\)
\(\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int\left(\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1-t}\right)\,dt\)
\( =\dfrac{1}{2} \log |1+t|- \log|1-t| +C \)
\(=\dfrac{1}{2}\log \left|\dfrac{1+t}{1-t}\right| +C\)
\(=\dfrac{1}{2}\log \dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} +C\) (答)
\(\dfrac{1}{1-t}\) を積分する際にマイナスが出てくることに注意してください。
1/tanx の不定積分
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\tan x}\,dx\)
\(\displaystyle =\int \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx\)
\(\displaystyle =\int \dfrac{(\sin x)^{'}}{\sin x}\,dx =\log |\sin x|+C\) (答)
タンジェントが一番簡単でした。