積・商の微分の公式と証明・例題

極限, 微分数Ⅲ


積・商の微分の公式

関数 \(f(x),\,g(x)\) が微分可能であるとき, 次が成り立ちます。

積の微分

\(\{f(x)\,g(x)\}’=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)\)


商の微分

\( \left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)}\right\} '=\dfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

とくに, \( \left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\} '=-\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

証明には, 微分係数の定義
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
を使います。

証明:積の微分

\(\{f(x)\,g(x)\}’\)
\(
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)\,g(x+h)\, – f(x)\, g(x)}{h}\\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)\,g(x+h)\color{blue}{-f(x)\,g(x+h)+f(x)\,g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}\\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\left\{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+f(x)\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}
\)
ここで,
\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)\\
\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}g(x+h)=g(x)\\
\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)\)
よって,
\(\color{red}{\{f(x)\,g(x)\}’=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)}\) (終)

証明:商の微分

まず分子が1のときの公式を証明します。 それと積の微分を使って, 分子が \(f(x)\) のときの公式を証明します。

\( \left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\} ' \\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{1}{h}\cdot \left\{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right\} \\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{1}{h}\cdot \frac{g(x)-g(x+h)}{g(x+h)\,g(x)}\\
=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\left\{\color{red}{-}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot \dfrac{1}{g(x+h)\,g(x)}\right\} \\
\)
ここで,
\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}-\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=-g'(x) \\
\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{1}{g(x+h)\,g(x)}=\frac{1}{\left\{g(x)\right\}^2}\)
よって,
\(\color{red}{\left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\} '=-\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

これと積の微分の公式から,
\( \left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)}\right\} '\\
=\left\{ f(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)} \right\} ' \\
=f'(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)} + f(x)\cdot \left\{ \dfrac{1}{g(x)} \right\} ' \\
=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x)\cdot g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2} \\
=\color{red}{\dfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\{g(x)\}^2}}
\)
(終)

例題

例題1

次の関数を微分せよ。
\(\quad y=(x^2+x+1)(2x-1)\)

解答

\(\phantom{=}y\,’\\
=(x^2+x+1)\,’\,(2x-1)+(x^2+x+1)\,(2x-1)\,’\\
=(2x+1)(2x-1)+(x^2+x+1)\cdot 2 \\
=4x^2-1+2x^2+2x+2 \\
=\color{red}{6x^2+2x+1}\)

例題2

次の関数を微分せよ。
\(y=\dfrac{x+1}{x}\)

解答

\(\phantom{=}y\,’\\
=\dfrac{(x+1)\,’\,x-(x+1)\,x\,’}{x^2}\\
=\dfrac{x -(x+1)}{x^2}\\
=\color{red}{-\dfrac{1}{x^2}}\)

別解

\(y=\dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}\)
よって,
\(y\,’=\left(\dfrac{1}{x}\right)’\\
\phantom{y\,’}=\color{red}{-\dfrac{1}{x^2}}\)