差の形を作って数列の和を計算する方法
数列の和は, 各項が差の形（引き算の形）になっていれば容易に計算できます。
途中の項が打ち消し合って, 最初と最後の項だけが残るからです。
本記事では,まず一般的な形で途中の項が打ち消し合うことを導出します。後に, 具体例として分数の数列の和を求める問題を紹介します。
差の形をしていれば打ち消し合う
数列の各項が次のように差の形で表せるとき, ほとんどの項が打ち消し合います。
数列\(\{a_n\}\)の第 \(k\) 項が
\(a_k=f(k)-f(k+1)\) と表せるとき,
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=f(1)-f(n+1)\)
\(a_k=f(k)-f(k+1)\) と表せるとき,
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=f(1)-f(n+1)\)
導出方法1
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{f(k)-f(k+1)\}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(k)-\sum_{k=1}^n f(k+1)\)
\(\require{cancel}=\{f(1)+\bcancel{f(2)+\cdots +f(n)}\}-\{\bcancel{f(2)+f(3)\cdots }+f(n+1)\}\)
\(=f(1)-f(n+1)\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{f(k)-f(k+1)\}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(k)-\sum_{k=1}^n f(k+1)\)
\(\require{cancel}=\{f(1)+\bcancel{f(2)+\cdots +f(n)}\}-\{\bcancel{f(2)+f(3)\cdots }+f(n+1)\}\)
\(=f(1)-f(n+1)\)
導出方法2
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{f(k)-f(k+1)\}\)
\(\require{cancel}=f(1)\bcancel{-f(2)+f(2)}-\bcancel{f(3)+\cdots +f(n)}-f(n+1)\)
\(=f(1)-f(n+1)\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{f(k)-f(k+1)\}\)
\(\require{cancel}=f(1)\bcancel{-f(2)+f(2)}-\bcancel{f(3)+\cdots +f(n)}-f(n+1)\)
\(=f(1)-f(n+1)\)
方法1と方法2はシグマの処理が少し違うだけです。
次のような形でも同様に計算できます。
数列\(\{a_n\}\)の第 \(k\) 項が
\(a_k=f(k)-f(k+2)\) と表せるとき,
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=f(1)+f(2)-f(n+1)-f(n+2)\)
\(a_k=f(k)-f(k+2)\) と表せるとき,
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=f(1)+f(2)-f(n+1)-f(n+2)\)
導出方法
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{f(k)-f(k+2)\}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(k)-\sum_{k=1}^n f(k+2)\)
\(\require{cancel}=\{f(1)+f(2)+\bcancel{f(3)+\cdots +f(n)}\}-\{\bcancel{f(3)+f(4)\cdots }+f(n+1)+f(n+2)\}\)
\(=f(1)+f(2)-f(n+1)-f(n+2)\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{f(k)-f(k+2)\}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(k)-\sum_{k=1}^n f(k+2)\)
\(\require{cancel}=\{f(1)+f(2)+\bcancel{f(3)+\cdots +f(n)}\}-\{\bcancel{f(3)+f(4)\cdots }+f(n+1)+f(n+2)\}\)
\(=f(1)+f(2)-f(n+1)-f(n+2)\)
上記以外の形でも, 差の形をしていればほとんどの部分が打ち消し合って和を求めることができます。
例題
部分分数分解で差の形を作る頻出パターンです。
\(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\dfrac{1}{n(n+1)}\) を計算せよ。
方針
第 \(k\) 項が\(\dfrac{1}{k(k+1)}\) の数列の和です。部分分数分解を用いて差の形が作れます。
解答
\(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\) より,
\(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^n (\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1})\)
\(\require{cancel}=\displaystyle\sum_{k=1}^n (1-\bcancel{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\cdots+\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{n+1})\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}=\color{red}{\dfrac{n}{n+1}}\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^n (\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1})\)
\(\require{cancel}=\displaystyle\sum_{k=1}^n (1-\bcancel{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\cdots+\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{n+1})\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}=\color{red}{\dfrac{n}{n+1}}\)