コーシー・シュワルツの不等式：例題
コーシー・シュワルツの不等式を使って解ける問題を紹介します。
証明方法は別ページで紹介しています。
→コーシー・シュワルツの不等式：証明
問題
\( (1)\, x^2+y^2+z^2\) の最小値を求めよ。
\( (2)\, \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\) の最小値を求めよ。
解答
コーシー・シュワルツの不等式
\(({a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2)\)
\(\quad \geqq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2\)
で
\(a_1=1,\, a_2=1,\,a_3=1 \)
\(b_1=x,\, b_2=y,\,b_3=z \) とおくと
\((1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\)
\(\quad \geqq (1\cdot x +1\cdot y + 1\cdot z)^2 \)
\(\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)\geqq \dfrac{1}{3}\)
等号成立は
\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\) のとき
よって
\(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) のとき最小値 \(\dfrac{1}{3}\)
コーシー・シュワルツの不等式
\(({a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2)\)
\(\quad \geqq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2\)
で
\(a_1=\sqrt{x},\, a_2=\sqrt{y},\,a_3=\sqrt{z} \)
\(b_1=\dfrac{1}{\sqrt{x}},\, b_2=\dfrac{1}{\sqrt{y}},\,b_3=\dfrac{1}{\sqrt{z}} \) とおくと
\((x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\)
\(\geqq (\sqrt{x}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{z}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{z}})^2\)
\(=3^2=9\)
したがって
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\geqq 9\)
等号成立は
\(\dfrac{\frac{1}{\sqrt x}}{\sqrt x}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt y}}{\sqrt y}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt z}}{\sqrt z}\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\) のとき
よって
\(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) のとき最小値 \(9\)