2次方程式の解の公式を平方完成で導出
2次方程式の解の公式, 解の公式の導出方法を紹介します。
2次方程式の解の公式
[i] \(ax^2+bx+c=0\) (\(a, b, c\) は実数,\(a\neq 0\)) の解は
\( x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\strut b^2 -4ac}}{2a}\)
\(\)
[ii] \(ax^2+2b^{'}x+c=0\) (\(a, b^{'}, c\) は実数,\(a\neq 0\))の解は
\(x=\dfrac{-b^{'}\pm \sqrt{\strut b’^2 -ac} }{a}\)
\( x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\strut b^2 -4ac}}{2a}\)
\(\)
[ii] \(ax^2+2b^{'}x+c=0\) (\(a, b^{'}, c\) は実数,\(a\neq 0\))の解は
\(x=\dfrac{-b^{'}\pm \sqrt{\strut b’^2 -ac} }{a}\)
解の公式の導出
平方完成で導出します。
\( (\phantom{00} )^2\) の形を作ることを平方完成といいます。
[i]
\(ax^2+bx+c=0\) の両辺を \(a\) で割ると,
\(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\)
\(x^2+\dfrac{b}{a}x\underbrace{\color{blue}{+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}}}_{\frac{b}{a}\textbf{の半分の二乗を足して引く}}+\dfrac{c}{a}=0\)
移項すると,
\(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}\)
[ii] \(x\) の係数が偶数のとき
[i]で求めた式に\(b=2b^{'}\) を代入すると,
\(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\)
\(x^2+\dfrac{b}{a}x\underbrace{\color{blue}{+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}}}_{\frac{b}{a}\textbf{の半分の二乗を足して引く}}+\dfrac{c}{a}=0\)
移項すると,
\(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}\)
\(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2 -4ac}{4a^2}\)
よって,
\(x+\dfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\strut \dfrac{b^2 -4ac}{4a^2}}\)
\(\color{red}{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\strut b^2-4ac}}{2a}}\)
[ii] \(x\) の係数が偶数のとき
[i]で求めた式に\(b=2b^{'}\) を代入すると,
\(x=\dfrac{-2b^{'}\pm \sqrt{\strut (2b^{'})^2-4ac}}{2a}\)
\(\phantom{x}=\dfrac{-2b^{'}\pm \sqrt{4({b^{'}}^2 – ac)}}{2a}\)
\(\phantom{x}=\color{red}{\dfrac{-b^{'}\pm \sqrt{\strut {b^{'}}^2 -ac} }{a}}\)
<補足> 2次の係数について
\(a=0\) のとき \(ax^2+bx+c\) は \(bx+c\)となり, 2次式ではなく高々1次式になります。
\(a\neq 0\) と設定すると, \(ax^2+bx+c\) が2次式だということが明確になります。