【場合の数】数字を並べて整数をつくる問題
問題
0, 1, 2, 3, 4 の 5個の数字から異なる3個を選んで3桁の整数をつくる。
(1) 3桁の整数はいくつあるか。
(2) 2の倍数はいくつあるか。
(3) 3の倍数はいくつあるか。
(4) 6の倍数はいくつあるか。
(1) 3桁の整数はいくつあるか。
(2) 2の倍数はいくつあるか。
(3) 3の倍数はいくつあるか。
(4) 6の倍数はいくつあるか。
方針
倍数の判定法を使います。
最高位が 0 になってはいけないことに注意してください。場合分けをする際も, 0 に注目します。
解答
(1)百の位は 0以外の4通り
十,一の位は 百の位で用いた数以外を並べる\(4\cdot3=12\) 通り
よって, \(4\cdot 4 \cdot 3=\color{red}{48\,\textbf{個}}\)
百,十の位の数字の並べ方は \(4\cdot3=12\) 通り [2] 一の位が 2 のとき
百の位は 2, 0 以外の3 通り
十の位は,百の位で用いた数と 2 以外の 3 通り
よって\(3\cdot 3=9\) 通り [3] 一の位が 4 のとき
[2] と同様 \(9\) 通り [1]～[3] より,\(12+9+9=\color{red}{30\,\textbf{個}}\)
百の位は 0 以外の2通り
十,一の位の数字の並べ方は\(2!=2\) 通り
よって, 3 桁の整数は\(2\cdot 2=4\) 個 [2] \((1,2,3)\) または \((2,3,4)\) のとき
3 桁の整数は \(3!=6\) 個 [1], [2] より, \(4\cdot 2 + 6 \cdot 2=\color{red}{20\,\textbf{個}}\)
十,一の位は 百の位で用いた数以外を並べる\(4\cdot3=12\) 通り
よって, \(4\cdot 4 \cdot 3=\color{red}{48\,\textbf{個}}\)
(2) 一の位が0, 2, 4 であれば 2 の倍数になる。
[1] 一の位が 0 のとき百,十の位の数字の並べ方は \(4\cdot3=12\) 通り [2] 一の位が 2 のとき
百の位は 2, 0 以外の3 通り
十の位は,百の位で用いた数と 2 以外の 3 通り
よって\(3\cdot 3=9\) 通り [3] 一の位が 4 のとき
[2] と同様 \(9\) 通り [1]～[3] より,\(12+9+9=\color{red}{30\,\textbf{個}}\)
(3) 和が 3 の倍数になる 3 つの数の組合せは,
\((0,1,2),\, (0,2,4),\, (1,2,3),\, (2,3,4)\)
百の位は 0 以外の2通り
十,一の位の数字の並べ方は\(2!=2\) 通り
よって, 3 桁の整数は\(2\cdot 2=4\) 個 [2] \((1,2,3)\) または \((2,3,4)\) のとき
3 桁の整数は \(3!=6\) 個 [1], [2] より, \(4\cdot 2 + 6 \cdot 2=\color{red}{20\,\textbf{個}}\)
(4) 2 の倍数（偶数）かつ 3 の倍数であればよい。(3)の組合せでつくる数字のうち, 一の位が偶数であるものが 6 の倍数になる。
\((0,1,2)\) のとき
一の位が 0 または 2 になるのは 3個
\((0,2,4)\) のとき
0,2,4はすべて偶数なので, (3)で求めた4個はすべて偶数
\((1,2,3)\) のとき
一の位が2になるのは 2個
\((2,3,4)\) のとき
一の位が 2 または 4 になるのは 4個
よって, \(3+4+2+4=\color{red}{13\,\textbf{個}}\)