2次方程式の解と係数の関係
この記事では，2次方程式の解と係数の関係を利用する色々なパターンの問題を解説しています。
公式
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解を \(\alpha,\beta\) とすると
\(\color{red}{\alpha + \beta =-\dfrac{b}{a},\quad\alpha \beta=\dfrac{c}{a}}\)
2次方程式の解の公式より, \(ax^2+bx+c=0\) の解は
\(\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\,\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
である。これらの解をそれぞれ \(\alpha,\,\beta\) とおくと
\(\alpha +\beta=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\dfrac{2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}\)
\(\alpha\beta=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}\)
(証明終)
\(\)
\(\)
証明2:係数比較
\(ax^2+bx+c=0\) の解が \(\alpha,\,\beta\) のとき
\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\quad\cdots(*)\)
と表せる。右辺を展開すると
\(ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\)
である。\((*)\)の両辺の係数を比較すると
\(b=-a(\alpha+\beta)\\c=a\alpha\beta\\
\therefore\quad\alpha + \beta =-\dfrac{b}{a},\quad\alpha \beta=\dfrac{c}{a}\)
(証明終)
例題1:対称式
問題
\((1)\quad {\alpha}^2+{\beta}^2\)
\((2)\quad {\alpha}^3+{\beta}^3\)
\((3)\quad {\alpha}^2-3{\beta}\)
\(\alpha\) と \(\beta\) を入れかえても式の形が同じであるとき，その式を「 \(\alpha\) と \(\beta\) の対称式」といいます。
\(\alpha\) と \(\beta\) の対称式はすべて \(\alpha +\beta\) と \(\alpha\beta\) で表すことができます。
解と係数の関係より \(\alpha +\beta,\,\alpha\beta\) の値が得られるので， \(\alpha\) と \(\beta\) の対称式の値を求められます。
解答
\(\alpha +\beta =-3\)
\(\alpha\beta=1\)
(1)
\({\alpha}^2+{\beta}^2＝(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=(-3)^2-2\cdot 1=\color{red}{7}\)
(2)
\({\alpha}^3+{\beta}^3=(\alpha +\beta)^3-3\alpha\beta (\alpha +\beta)=(-3)^3-3\cdot 1 \cdot (-3)=\color{red}{-18}\)
(3)
\({\alpha}^2-3{\beta}=\underbrace{-3\alpha -1}_{\because\,\,{\alpha}^2+3\alpha+1=0} -3\beta=-3(\alpha +\beta)-1=(-3)\cdot(-3)-1=\color{red}{8}\)
(3)は対称式ではないですが，\(\alpha\) が \(x^2+3x+1=0\) の解であることに注意すれば \({\alpha}^2 =-3\alpha-1\) と変形して次数を下げることができ，対称式になります。
例題2:2次方程式を作る
例えば，\(\alpha +\beta=4,\,^\,\alpha\beta=3\) のとき \(\alpha ,\,\beta\) は \(x^2-4x+3=0\) の解です。
問題
\({\alpha}^2,\,{\beta}^2\) を解にもつ2次方程式を1つ求めよ。
解答
\(\alpha +\beta =8\)
\(\alpha\beta =3\)
よって，
\({\alpha}^2 +{\beta}^2=(\alpha +\beta )^2 -2\alpha\beta=58\)
\({\alpha}^2{\beta}^2=(\alpha\beta)^2=9\)
したがって，\({\alpha}^2,\,{\beta}^2\) を解にもつ2次方程式は
\(\color{red}{x^2-58x+9=0}\)
例題3:解の関係
2つの解 \(\alpha,\,\beta\) の関係が与えられているとき，\(\beta\) を \(\alpha\) で表して文字を減らせることがあります。
問題
解答
\(\alpha +{\alpha}^2=6\quad\cdots\small\unicode{x2460}\)
\({\alpha}^3=k\quad\cdots\small\unicode{x2461}\)
\(\small\unicode{x2460}\) より
\({\alpha}^2+\alpha -6=0\)
\((\alpha -2)(\alpha +3)=0\)
\(\therefore \alpha=2,-3\)
これらを \(\small\unicode{x2461}\) に代入して
\(\color{red}{k=8,-27}\)
例題4:解の整数条件
問題
解答
\(\alpha + \beta =k-4\)
\(\alpha\beta=k\)
\(k\) を消去して
\(\phantom{\Leftrightarrow\,}\alpha +\beta=\alpha\beta-4\)
\(\Leftrightarrow\alpha\beta-\alpha-\beta=4\)
\(\Leftrightarrow\alpha(\beta -1)-(\beta-1)-1=4\)
\(\Leftrightarrow(\alpha -1)(\beta -1)=5\)
これを満たす整数 \(\alpha -1,\beta -1\) の組は
\((\alpha -1,\beta-1)=(\pm 5,\pm 1),(\pm 1,\pm 5)\)
\(\therefore (\alpha,\beta)=(6,2),(-4,0),(2,6),(0,-4)\)
\(k=\alpha\beta\) であるから
\(\color{red}{k=12,0}\)
解と係数の関係から (整数)×(整数)=(整数) の形を作りました。